Strona 1 z 1
Liczba pierwsza
: 16 sty 2023, o 11:00
autor: mol_ksiazkowy
Udowodnić, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby \(\displaystyle{ n}\) była liczbą pierwszą jest \(\displaystyle{ \sigma(n) +\phi(n) = nd(n).}\)
Re: Liczba pierwsza
: 17 sty 2023, o 21:25
autor: Samouk1
Czym jest funkcja \(\displaystyle{ d(n)}\)?
Re: Liczba pierwsza
: 17 sty 2023, o 22:30
autor: Janusz Tracz
Liczbą dzielników
\(\displaystyle{ n}\).
Jeśli
\(\displaystyle{ n}\) jest pierwsza to równość
\(\displaystyle{ \sigma(n) +\phi(n) = nd(n)}\) sprowadza się do
\(\displaystyle{ \left( 1+n\right) +\left( n-1\right) =2n}\).
Jeśli
\(\displaystyle{ n}\) nie jest pierwsza to
- \(\displaystyle{ \phi(n)<n-1}\),
- \(\displaystyle{ \sigma(n)\le 1+(d(n)-1)n}\). Bo pozostałe \(\displaystyle{ d(n)-1}\) poza \(\displaystyle{ 1}\) są mniejsze od \(\displaystyle{ n}\).
Sumując stronami dostaniemy nierówność świadczącą o tym, że
\(\displaystyle{ \sigma(n) +\phi(n) = nd(n)}\) nie zachodzi w tym przypadku.
Aż się teraz prosi napisać jawny wzór na
\(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą:
\(\displaystyle{ p_n=1+ \sum_{k=1}^{2^n} \left\lfloor \left( \frac{n}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{k} \chi_{\left\{ 0\right\} } \left( \sigma(\ell) +\phi(\ell) - \ell d(\ell) \right)} \right)^{1/n}\right\rfloor. }\)
Re: Liczba pierwsza
: 18 sty 2023, o 17:54
autor: Samouk1
Janusz Tracz pisze: ↑17 sty 2023, o 22:46
Aż się teraz prosi napisać jawny wzór na
\(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą:
\(\displaystyle{ p_n=1+ \sum_{k=1}^{2^n} \left\lfloor \left( \frac{n}{\displaystyle \sum_{\ell=1}^{k} \chi_{\left\{ 0\right\} } \left( \sigma(\ell) +\phi(\ell) - \ell d(\ell) \right)} \right)^{1/n}\right\rfloor. }\)
Uroczy!