Matematyka.pl

Czy ktoś wie jak brzmi uogólniona wersja kryterium D'Alemberta do badania zbieżności szeregów, ponieważ nigdzie nie mogę się jej doszukać? Albo przynajmniej gdzie ją znajdę? Chodzi mi o taką, która zawiera coś z kresem górnym czyli supremum.

Na przykład w Wikipedii.
Najpierw jest podana wersja ogólniejsza, a potem mniej ogólna, tzn. taka gdzie musi istnieć granica ciągu. Tę ogólniejszą wersję można, przy niewielkiej stracie ogólności, wyrazić z użyciem pojęcia granicy dolnej i granicy górnej. Warunek:

Jeżeli dla dostatecznie dużych \(n\) oraz pewnego \(r < 1\) spełniona jest nierówność \(D_n \le r\)

oznacza dokładnie to samo co:

Jeżeli \(\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty} D_n<1}\)

Dla drugiego przypadku możemy stwierdzić, że jeśli \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} D_n>1}\), to szereg jest rozbieżny. I tu jest ta strata ogólności w stosunku do najogólniejszego sformułowania, bo przypadek \(\displaystyle{ \liminf_{n\to\infty} D_n=1}\) zostaje nierozstrzygnięty, a w najogólniejszym sformułowaniu był częściowo rozstrzygnięty.