Strona 1 z 1
granica ułamka i sumy
: 7 lis 2022, o 23:21
autor: major37
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1+2+4+....2^n}{2^n}}\) Licznik jest sumą ciągu geometrycznego, więc policzyłem tą sumę, a następnie granice i granica wyszła 1, a w książce jest odpowiedź 2, gdzie jest błąd ? Proszę o pomoc.
Re: granica ułamka i sumy
: 7 lis 2022, o 23:30
autor: Janusz Tracz
Nie trzeba tak, ale:
\(\displaystyle{ \frac{1+2+4+\dots+2^{n-1}+2^n}{2^n}= \frac{2^n+2^{n-1}+\dots+4+2+1}{2^n}=1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+\dots+ \frac{1}{2^n} \rightarrow 2. }\)
Re: granica ułamka i sumy
: 7 lis 2022, o 23:42
autor: Jan Kraszewski
major37 pisze: 7 lis 2022, o 23:21
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{1+2+4+....2^n}{2^n}}\) Licznik jest sumą ciągu geometrycznego, więc policzyłem tą sumę, a następnie granice i granica wyszła 1, a w książce jest odpowiedź 2, gdzie jest błąd ? Proszę o pomoc.
Zapewne źle policzyłeś sumę, bo zapomniałeś, że ten ciąg ma
\(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów (a nie
\(\displaystyle{ n}\)).
JK
Re: granica ułamka i sumy
: 8 lis 2022, o 00:12
autor: major37
Czy iloraz tego ciągu w liczniku to 2 ?
Dodano po 4 minutach 38 sekundach:
Chyba rozumiem. Ciąg zaczyna się od wyrazu pierwszego, który jest równy 2, a nie jeden ?
Re: granica ułamka i sumy
: 8 lis 2022, o 02:21
autor: Jan Kraszewski
major37 pisze: 8 lis 2022, o 00:16Chyba rozumiem. Ciąg zaczyna się od wyrazu pierwszego, który jest równy 2, a nie jeden ?
To dość dziwne podejście i niezupełnie wiem, o co Ci chodzi.
Jak masz sumę
\(\displaystyle{ 1+2+4+....2^n=2^0+2^1+...+2^n}\), to jest to suma ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie
\(\displaystyle{ 1}\), ilorazie
\(\displaystyle{ 2}\) i
\(\displaystyle{ n+1}\) wyrazach, więc
\(\displaystyle{ 1+2+4+...+2^n=1\cdot\frac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1.}\)
JK