Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których ułamek \(\displaystyle{ \frac{n^2+6}{n+1} }\) jest nieskracalny.
Jak to ugryźć? Może mi ktoś pomóc?
Re: Wyznacz wszystkie liczby naturalne
: 5 lis 2022, o 03:34
autor: a4karo
Podzielic wielomiany
Re: Wyznacz wszystkie liczby naturalne
: 5 lis 2022, o 18:23
autor: pasman
max123321 pisze: 5 lis 2022, o 00:32
Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których ułamek \(\displaystyle{ \frac{n^2+6}{n+1} }\) jest nieskracalny.
Jak to ugryźć? Może mi ktoś pomóc?
Może pomoże ci rozwiązanie: \(\displaystyle{ n \neq 6}\)
Re: Wyznacz wszystkie liczby naturalne
: 5 lis 2022, o 21:29
autor: max123321
Aha dobra podzieliłem te wielomiany i dostałem \(\displaystyle{ n-1+ \frac{7}{n+1} }\), czyli, żeby był skracalny to \(\displaystyle{ 7}\) powinno być podzielne przez \(\displaystyle{ n+1}\), a to jest możliwe jedynie dla \(\displaystyle{ n=6}\) lub \(\displaystyle{ n=0}\), ale \(\displaystyle{ 0}\) to raz nie wiadomo czy jest naturalne, a dwa, że wtedy otrzymamy \(\displaystyle{ \frac{6}{1} }\), który chyba również uznaje się za nieskracalny?
Re: Wyznacz wszystkie liczby naturalne
: 5 lis 2022, o 22:36
autor: Janusz Tracz
max123321 pisze: 5 lis 2022, o 21:29\(\displaystyle{ \frac{6}{1} }\), który chyba również uznaje się za nieskracalny?
Zapewniam, że \(\displaystyle{ 6/1}\) się skraca. Ba nietrudno nawet policzyć ile to będzie.
hint:
\(\displaystyle{ 6}\)
max123321 pisze: 5 lis 2022, o 21:29ale \(\displaystyle{ 0}\) to raz nie wiadomo czy jest naturalne
Ludzie mają różne problemy. Słyszałem ostatnio, że w niektórych krajach 3 świata ludzie muszą chodzić po wodę 20km w jedną stronę do rzeki. Całe szczęści matematycy mają normy
ISO 80000-2 i nie muszą się zastanawiać czy \(\displaystyle{ 0\in\NN}\).
Re: Wyznacz wszystkie liczby naturalne
: 5 lis 2022, o 23:53
autor: Jan Kraszewski
Janusz Tracz pisze: 5 lis 2022, o 22:36 Zapewniam, że \(\displaystyle{ 6/1}\) się skraca. Ba nietrudno nawet policzyć ile to będzie.
A jak definiujesz nieskracalność ułamka \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) ? Bo dla mnie taki ułamek jest nieskracalny, jeśli \(\displaystyle{ \text{NWD}\,(p,q)=1}\)...
Janusz Tracz pisze: 5 lis 2022, o 22:36Całe szczęści matematycy mają normy i nie muszą się zastanawiać czy \(\displaystyle{ 0\in\NN}\).
Nie zawsze trzeba być zgodnym z ISO...
JK
PS
Nawiasem mówiąc ciekawe jest, że w pracach naukowych wprowadzając notację odwołuje się często do kanonicznego podręcznika z danej dziedziny, nigdy zaś nie widziałem odwołania do tego dokumentu (który można by uznawać za powszechnie obowiązujący standard).
Re: Wyznacz wszystkie liczby naturalne
: 6 lis 2022, o 14:44
autor: max123321
Mnie się też wydaje, że to jest tak jak J Kraszewski mówi, że ułamek jest nieskracalny jak NWD licznika i mianownika jest równy jeden.
Dodano po 8 godzinach 1 minucie 7 sekundach:
Ale w sumie mam jeszcze wątpliwość. Skoro \(\displaystyle{ \frac{n^2+6}{n+1}=n-1+ \frac{7}{n+1} }\) ma być nieskracalny to ten ułamek \(\displaystyle{ \frac{7}{n+1} }\) musi być nieskracalny i \(\displaystyle{ NWD(7,n+1)=1}\), no ale na przykład dla \(\displaystyle{ n=13}\)\(\displaystyle{ NWD}\) nie będzie równy \(\displaystyle{ 1}\) tylko \(\displaystyle{ 2}\). To dlaczego trzeba odrzucić np. \(\displaystyle{ n=13}\) w tym rozumowaniu?
Dodano po 11 minutach 39 sekundach:
Nie no to jest słuszne rozumowanie. Czyli \(\displaystyle{ NWD(7,n+1)=1}\) czyli \(\displaystyle{ n+1 \neq 7k}\), \(\displaystyle{ k \in \NN}\). Czyli \(\displaystyle{ n \neq -1+7k}\) albo inaczej mówiąc \(\displaystyle{ n \neq 6+7k}\), \(\displaystyle{ k \in \NN}\). Wtedy ten ułamek jest nieskracalny. Bo ktoś tam wcześniej napisał, że rozwiązanie to jest \(\displaystyle{ n \neq 6}\) i się tym zasugerowałem, a to było źle.
Dodano po 3 minutach 50 sekundach:
Może ktoś to potwierdzić albo zaprzeczyć czy tak jest dobrze?