Matematyka.pl

Wykaż, że \(\displaystyle{ \sqrt{8-2\sqrt{15}} + \sqrt{5-2\sqrt{6}} + \sqrt{8+2\sqrt{2} -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} }=1. }\)

Zacząłbym od zauważenia, że \(\displaystyle{ 8+2\sqrt{2} -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} =\left( 1+\sqrt2-\sqrt5\right)^2. }\) A potem próbował pozwijać do kwadratów pozostałe dwa wyrażenia podpierwiastkowe.

JK

A dojść do tego można tak:
`(\sqrt5-\sqrt2)^2=7-2\sqrt{10}` więc `8-2\sqrt{10}=(\sqrt5-\sqrt2)^2+1`
stąd
`8-2\sqrt{10}-2(\sqrt5-\sqrt2)=(\sqrt5-\sqrt2-1)^2`

Jan Kraszewski pisze: 22 paź 2022, o 21:13 Zacząłbym od zauważenia, że \(\displaystyle{ 8+2\sqrt{2} -2\sqrt{5} -2\sqrt{10} =\left( 1+\sqrt2-\sqrt5\right)^2. }\) A potem próbował pozwijać do kwadratów pozostałe dwa wyrażenia podpierwiastkowe.

JK

Właśnie miałem problem jak to trzecie wyrażenie zwinąć do wzoru skróconego mnożenia. Dziękuję bardzo

a4karo pisze: 22 paź 2022, o 21:24 A dojść do tego można tak

No ja doszedłem tak, że łatwo zauważyć, iż w zwiniętym wyrażeniu muszą być trzy czynniki: z \(\displaystyle{ \sqrt{2}, }\) z \(\displaystyle{ \sqrt{5} }\) i czynnik bezpierwiastkowy. A potem już łatwo...

JK

Tak teraz to faktycznie widać, ja na początku myślałem, że będzie tam 2 razy kwadrat sumy (w tym trzecim wyrażeniu) i próbowałem na siłe, ale nie wychodziło