Matematyka.pl

Witam, mam do rozwiązania nierówność:
\(\displaystyle{ (x^{2}-6x+9)^{x+3} < 1}\)

Po sprawdzeniu \(x=3\) mamy dla \(x\ne3\)
\((x^{2}-6x+9)^{x+3} < (x^{2}-6x+9)^{0} \)
i dwa przypadki

Pozdrawiam

\(\displaystyle{ \displaystyle{ (x^{2}-6x+9)^{x+3} < 1}}\)

\(\displaystyle{ (x-3)^{2\cdot(x+3)}<1}\)

Zlogarytmuj obie strony i rozpatrz przypadki

Dilectus pisze: 11 paź 2022, o 11:33Zlogarytmuj obie strony

Z tym to trzeba uważać.

JK

Rozwiń myśl.

Możesz przypadkiem zmienić dziedzinę.

JK

Dilectus pisze: 11 paź 2022, o 11:33 \(\displaystyle{ \displaystyle{ (x^{2}-6x+9)^{x+3} < 1}}\)

\(\displaystyle{ (x-3)^{2\cdot(x+3)}<1}\)

Zlogarytmuj obie strony i rozpatrz przypadki

Raczej \(\displaystyle{ |x-3|^{2(x+3)}<1}\)

Dlaczego? Przecież \(\displaystyle{ \displaystyle{ \displaystyle{ (x^{2}-6x+9) = (x-3)^2}}}\), a poza tym ten trójmian jest nieujemny w całe swojej dziedzinie.

Ale jak zlogarytmujesz swoją wersję i niechcący wyjdzie Ci \(\displaystyle{ 2(x+3)\log(x-3)}\) zamiast \(\displaystyle{ (x+3)\log(x-3)^2,}\) to już nie będzie dobrze.

JK

Nie tylko dlatego. `x^2-6x+9` jest liczbą dodatnia dla `x\ne 3`, natomiast `x-3` dość często jest ujemne, więc podnoszenie do potęgi nie jest dobrze określone. W ten sposób zmieniasz dziedzinę nierówności.

No to się sprowadza do tego samego - musisz traktować to jako \(\displaystyle{ \left( (x-3)^2\right)^{x+3} }\), a nie \(\displaystyle{ (x-3)^{2\cdot(x+3)} }\) (i pamiętać o tym w czasie logarytmowania).

JK

Niby prawda, ale nikt nie mówi że tę nierówność trzeba traktować logarytmem.
Po prostu sprowadza się ja do dwóch przypadków: `x^2-6x+9<1` i `x^2-6x+9>1` i porównuje `x+3` z zerem.

a4karo pisze: 12 paź 2022, o 11:40 Niby prawda, ale nikt nie mówi że tę nierówność trzeba traktować logarytmem.

Oczywiście, że nie. Ale Dilectus chciał i to wzbudziło nasze wspólne obawy...

JK