Matematyka.pl

Muszę rozwiązać koniunkcję dwóch warunków:
\(\displaystyle{ a-3=-2a^2 \wedge 3a^2-4=-a}\)
Wyznaczam z każdego równania \(\displaystyle{ a}\) i porównuję:
\(\displaystyle{ -2a^2+3=-3a^2+4}\)
Otrzymuję:
\(\displaystyle{ a^2=1}\)
czyli
\(\displaystyle{ a=1 \vee a=-1}\)

Jednak poprawne rozwiązanie to \(\displaystyle{ a=1}\).

Czy żeby wykluczyć drugie rozwiązanie powinnam podstawić do każdego z początkowych równań \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ a=-1}\) i sprawdzić, dla której wartości zachodzą równości?

inusia146 pisze: 7 wrz 2022, o 18:04Czy żeby wykluczyć drugie rozwiązanie powinnam podstawić do każdego z początkowych równań \(\displaystyle{ a=1}\) i \(\displaystyle{ a=-1}\) i sprawdzić, dla której wartości zachodzą równości?

Dokładnie tak. Przekształcenia nie były równoważne, więc musisz sprawdzić, czy uzyskane odpowiedzi istotnie nimi są.

JK

Bardzo dziękuję za odpowiedź. Jednak nie widzę tego, dlaczego przekształcenia nie były równoważne. Dodawanie/odejmowanie od obu stron równania liczby/wyrażenia i mnożenie stron równania przez liczbę różną od zera są przekształceniami równoważnymi, prawda?

To porównanie nie jest przejściem równoważnym:

inusia146 pisze: 7 wrz 2022, o 18:04Wyznaczam z każdego równania \(\displaystyle{ a}\) i porównuję:
\(\displaystyle{ -2a^2+3=-3a^2+4}\)

Zauważ, że z faktu \(\displaystyle{ -2a^2+3=-3a^2+4}\) NIE WYNIKA, iż \(\displaystyle{ a=-2a^2+3}\) i \(\displaystyle{ a=-3a^2+4}\).

JK

Rzeczywiście. Dziękuję bardzo.

Można też zastosować metodę równań równoważnych - przekształcić formy zdaniowe i zapytać jaka jest wspólna wartość \(\displaystyle{ a }\)
(wspólne wartości) rozwiązań układu równań (o ile takie istnieją) :

\(\displaystyle{ \begin{cases} -2a^2 -a +3 = 0 \\ 3a^2 +a - 4 = 0, \end{cases} }\)

gdzie klamerka zastępuje spójnik koniunkcji \(\displaystyle{ \wedge. }\)