Matematyka.pl

Rozważmy układy równań :
\(\displaystyle{
\left\{\begin{matrix}
x^{2}+1=2y \\
y^{2}+1=2z \\
z^{2}+1=2x
\end{matrix}\right.
\\
\left\{\begin{matrix}
x^{2}=2y \\
y^{2}=2z \\
z^{2}+3=2x
\end{matrix}\right.}\)

Z pierwszego, dodając stronami otrzymujemy trójkę \(\displaystyle{ (x,y,z)=(1,1,1)}\) , która spełnia układ równań.
Z drugiego, dodając stronami otrzymujemy tą samą trójkę, nie która spełnia układu równań.

Jaki jest powód? Kiedy można dodawać równości stronami?
Zagadnienie z książki Witolda Bednarka.

Ale gdzie tu paradoks?

Kiedy możemy dodawać równania stronami, tak aby były równoważne?

Co powiesz o sytuacji:
\(+\underline{\begin{cases}x=2\\ x=4\end{cases}}\\ 2x=6\)

Pozdrawiam

Na ogół po dodaniu równań nie otrzymasz równania równoważnego. Jeśli w ogólności chcesz otrzymać równoważny układ równań, to możesz na przykład układ
\(\displaystyle{ \begin{cases}L_1=P_1\\L_2=P_2\\L_3=P_3\end{cases}}\)
zamienić na
\(\displaystyle{ \begin{cases}L_1+L_2+L_3=P_1+P_2+P_3\\L_2=P_2\\L_3=P_3\end{cases}}\)
Wtedy drugi układ wynika z pierwszego poprzez dodanie stronami, a pierwszy z drugiego poprzez odjęcie stronami. Są więc równoważne.