Matematyka.pl

Oblicz sumę szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{n} }\), gdzie \(\displaystyle{ c_{n}=\begin{cases} 3 &\text{dla } n=4k+1, k\in\mathbb{N} \\-1 &\text{dla pozostałych n} \end{cases}}\)

Wsk.
Pogrupuj wyrazy po cztery i oblicz sumę każdej z czwórek

Dodano po 3 minutach 18 sekundach:
Zero gwarancji że to coś da, ale tak bym zaczął

Powstanie nam \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(\frac{3}{4k+1} - \frac{1}{4k+2} - \frac{1}{4k+3} - \frac{1}{4k+4} \Bigr)= \sum_{k=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4k+1} - \frac{1}{4k+2}\Bigr) + \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(\frac{1}{4k+1} - \frac{1}{4k+3}\Bigr) + \sum_{k=1}^{\infty} \Bigl(\frac{1}{4k+1} - \frac{1}{4k+4}\Bigr) = }\).
\(\displaystyle{ = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+2)} +2 \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+3)} + 3\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(4k+1)(4k+4)}}\)

Dalej może spróbować taki myk, że to co nam wyszło \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty}(x^{4})^{k} = \frac{1}{1-x^{4}}}\) i całkując obustronnie wyjdzie \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{4k+1}}{4k+1} = \frac{1}{4} \Bigl(-\ln(1-x) + \ln(1+x) + 2 \arctan(x) \Bigr) }\),

A jak scałkuję drugi raz to wyjdzie
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{4k+2}}{(4k+1)(4k+2)} = \frac{1}{4} \Bigl(-\ln(x^{2}+1) - (1-x) \ln(1-x) + x\ln(x+1) + 2x\arctan(x) \Bigr) }\)

I teraz jak zrobię granice do 1 to mi wyjdzie jeden ze składników szukanej sumy?

Dodano po 38 minutach 32 sekundach:
Jeszcze dopytam, bo w swojej próbie rozwiązania tego zadania zacząłem sobie całkować bezrefleksyjnie. Jakie warunki muszą zajść, aby faktycznie takie postępowanie było poprawne w sensie matematycznym? Czy wystarczy zwykła ciągłość składników tej sumy, czy coś jeszcze musi być tutaj dodane? Czy takie same warunki będą konieczne dla różniczkowania, a nie całkowania?

Wewnątrz przedziału zbieżności można całkować wyraz po wyrazie. Tu masz kłopot przy `x\to 1 ` no logarytm dąży do nieskończoności

Tak, ale jest on pomnożony przez (1-x) co powoduje, że to łącznie zbiega do ładnej liczby (czyli zera)

Wskazówka: skorzystaj z równości

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2 \\[1ex]
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}}\)