Matematyka.pl

Cześć,
Jak rozwiązać to zadanie, może ktoś napisać krok po kroku

Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 8 ponumerowanych kul w 7 identycznych pudełkach tak, aby żadne pudełko nie pozostało puste jest równa.

Ja myślałem tak: pierwsza kula ma 7 możliwości, druga 6, trzecia 5, czwarta 4, ... siódma 1, więc to daje 7+6+5+4+3+2+1=28. Tylko co zrobić z tą 8 kulą.

Wsk. Skoro pudełka nie są rozróżnialne, to jest tylko jeden sposób, żeby odróżnić dwa układy: trzeba się przyjrzeć jakie kule są w pudełku z dwiema kulami.

tzn, że ostatnią 8 kulę można ułożyć na 7 sposobów co razem daje 28+7=35 sposobów. Mógłby ktoś napisać mi jakie jest rozumowanie w tym zadaniu?

Przeczytaj uważnie wskazówkę. Z niej nie wynika to, co napisałeś

w pudełku z dwiema kulami mogą być dowolne dwie z ośmiu kul ale nie wiem co z tym zrobić dalej

maciek222 pisze: 1 cze 2022, o 18:15 w pudełku z dwiema kulami mogą być dowolne dwie z ośmiu kul ale nie wiem co z tym zrobić dalej

Zrozumieć, że

a4karo pisze: 31 maja 2022, o 23:08jest tylko jeden sposób, żeby odróżnić dwa układy: trzeba się przyjrzeć jakie kule są w pudełku z dwiema kulami.

bo z policzeniem nie powinno być problemów.

JK

maciek222 pisze: 31 maja 2022, o 18:27 Cześć,
Jak rozwiązać to zadanie, może ktoś napisać krok po kroku

Liczba sposobów jakimi można rozmieścić 8 ponumerowanych kul w 7 identycznych pudełkach tak, aby żadne pudełko nie pozostało puste jest równa.

Ja myślałem tak: pierwsza kula ma 7 możliwości

Rozpisz proszę te 7 możliwości.

maciek222 pisze: 31 maja 2022, o 18:27, druga 6, trzecia 5, czwarta 4, ... siódma 1, więc to daje 7+6+5+4+3+2+1=28.

Skąd tu plusy? Specjalnie dla ciebie Maciek prostsze zadanie: mam dwie zupy: {pomidorowa, ogórkowa} oraz trzy drugie dania: {schabowy, pierogi, mielone}. Ile dwudaniowych zestawów obiadowych mogę ułożyć?

Uwaga jest jak najbardziej słuszna, ale ta metoda nie prowadzi do rozwiązania zadania.

Mamy osiem rozróżnialnych (ponumerowanych) kul \(\displaystyle{ 1,2,3,4,5,6,7,8. }\)

Umieszczamy te kule losowo w siedmiu nierozróżnialnych (nie ponumerowanych) pudełkach \(\displaystyle{ | \ \ | \ \ | \ \ | \ \ | \ \ | \ \ | \ \ | }\).

Żeby, żadne pudełko nie zostało puste to w jednym pudełku (z tych siedmiu pudełek) muszą się znaleźć dwie kule, a w pozostałych pudełkach jedna kula.

Te dwie kule wybieramy z ośmiu kul na \(\displaystyle{ s \ \ ...}\) sposobów. Ile jest tych sposobów ?

Pozostało nam sześć kulek, które umieszczamy po jednej w pozostałych sześciu pudełkach na \(\displaystyle{ j \ \ ... }\) możliwości. Ile jest tych

możliwości ?

Liczba wszystkich rozmieszczeń \(\displaystyle{ S }\) osiem ponumerowanych kul w siedmiu identycznych (nierozróżnialnych) pudełkach jest

więc równa:

\(\displaystyle{ S = s\cdot j. }\)

a4karo pisze: 2 cze 2022, o 10:56 Uwaga jest jak najbardziej słuszna, ale ta metoda nie prowadzi do rozwiązania zadania.

Ja nie powiedziałem, że to metoda rozwiązania zadania. Chcę koledze przy okazji pokazać różnicę między regułą dodawania a mnożenia.

Te dwie kule wybieramy z ośmiu kul na s ... sposobów. Ile jest tych sposobów ?

To będzie \(\displaystyle{ {8 \choose 2} }\) sposobów

Pozostało nam sześć kulek, które umieszczamy po jednej w pozostałych sześciu pudełkach na j ... możliwości. Ile jest tych

możliwości ?

Tu będzie tylko jedna możliwość

Razem będzie 28 możliwości, czy tak?

Tak.

\(\displaystyle{ S = s\cdot j = {8\choose 2}\cdot {6\choose 6} = \frac{8\cdot 7}{1\cdot 2} \cdot 1 = \frac{56}{2}= 28.}\)