Matematyka.pl

Zbadaj relacje inkluzji jeżeli prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ a) (A \cap B) \cup (C \cap B)=B}\)
\(\displaystyle{ (A \cap C) \cap B=B \Leftrightarrow B \subset (A \cup C)}\)
Czy taki cacko jest wystarczające? Należałoby tu coś dopisać od strony formalnej?

Jak zrobić te podpunkty, bardzo proszę o pomoc

e) \(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B=A \cup B}\)
f) \(\displaystyle{ (A \cup C) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 05:19 Zbadaj relacje inkluzji jeżeli prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ a) (A \cap B) \cup (C \cap B)=B}\)
\(\displaystyle{ (A \cap C) \cap B=B \Leftrightarrow B \subset (A \cup C)}\)
Czy taki cacko jest wystarczające? Należałoby tu coś dopisać od strony formalnej?

Wystarczające do czego? Napisałeś linijkę znaczków, która nie wystarcza do niczego.

Po pierwsze, czy rozumiesz w ogóle polecenie?

Po drugie, jeśli piszesz jakiekolwiek uzasadnienie/dowód, to jest ono prezentacją Twojego rozumowania i czytelnik - czytając to uzasadnienie - powinien móc odtworzyć tok tego rozumowania: jak wnioskowałeś, z czego korzystałeś itd. Pisząc używasz języka polskiego i czasami symboli matematycznych. Rozwiązanie nie jest ścianą znaczków.

Pamiętaj, że pisanie rozwiązania to NIE JEST przygotowywaniem escape roomu dla czytelnika, w którym musi on rozwiązać serię mocno nieoczywistych zagadek, żeby wyjść.

JK

Jan Kraszewski pisze: 2 mar 2022, o 11:27 Po pierwsze, czy rozumiesz w ogóle polecenie?

Wiem czym jest inkluzja, mam pokazać jaka jest relacja między zbiorami tzn. który zbiór zawiera się w którym.
Mój problem polega na tym, że nigdy nie widziałem przykładu rozwiązania takiego zadania, dlatego nie mam pojęcia jak to zrobić od strony formalnej.

Dodano po 1 godzinie 23 minutach 37 sekundach:
Mógłbym poprosić o rozwiązanie pełne chociaż tego pierwszego przykładu ?
Miałbym chociaż pogląd jak to powinno wyglądać.

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 21:24Wiem czym jest inkluzja, mam pokazać jaka jest relacja między zbiorami tzn. który zbiór zawiera się w którym.

No cóż, takie polecenie jest o tyle nieprecyzyjne, że nie wiadomo, o jakie zbiory chodzi. Czasem chodzi tylko o inkluzje pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ A,B,C,}\) (tzn. inkluzje typu \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)) tutaj jednak może chodzić o to, jakiej inkluzji, w której występują zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\) równoważny jest podany warunek.

gr4vity pisze: 2 mar 2022, o 21:24Mój problem polega na tym, że nigdy nie widziałem przykładu rozwiązania takiego zadania, dlatego nie mam pojęcia jak to zrobić od strony formalnej.

Napisać, skąd się to wzięło: zauważasz, że na mocy prawa rozdzielności sumy względem przekroju mamy \(\displaystyle{ (A \cap B) \cup (C \cap B)=(A \cup C) \cap B}\), co oznacza, że założenie jest równoważne równości \(\displaystyle{ (A \cup C) \cap B=B}\). Potem zaś powołujesz się na twierdzenie o warunkach równoważnych zawieraniu zbiorów żeby stwierdzić, że ten warunek jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ B \subseteq A \cup C.}\)

W pozostałych dwóch przypadkach warto najpierw ustalić, do czego zmierzamy. W tym celu warto narysować diagramy Venna obu stron, czyli np. \(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B}\) i \(\displaystyle{ A \cup B}\) i zobaczyć, czym się różnią - te kawałki muszą być zbiorami pustymi (bo w końcu założenie mówi o równości zbiorów). Stąd zazwyczaj łatwo możemy wywnioskować, jakie inkluzje zachodzą.

JK

e) \(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B=A \cup B}\)

Jan Kraszewski pisze: 2 mar 2022, o 23:09 i zobaczyć, czym się różnią - te kawałki muszą być zbiorami pustymi (bo w końcu założenie mówi o równości zbiorów). Stąd zazwyczaj łatwo możemy wywnioskować, jakie inkluzje zachodzą.

Z rysunku wynika, że: \(\displaystyle{ ((C \setminus B) \cap A)= \emptyset }\)
Czyli należy odpowiednimi przekształceniami wykazać, że: \(\displaystyle{ A \subset (B \cup C')}\) ?

f) \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)
Rysowałem i nic z tego... kawałki różnią się o: \(\displaystyle{ C \cap B}\)
Nie potrafię określić jakie inkluzje zachodzą..

gr4vity pisze: 3 mar 2022, o 03:57Z rysunku wynika, że: \(\displaystyle{ ((C \setminus B) \cap A)= \emptyset }\)
Czyli należy odpowiednimi przekształceniami wykazać, że: \(\displaystyle{ A \subset (B \cup C')}\) ?

Myślę, że wygodniej będzie zauważyć, że \(\displaystyle{ (A\cap C)\setminus B=\emptyset}\) i w zwiazku z tym pokazywać, że (równoważnie) \(\displaystyle{ A\cap C \subseteq B}\).

gr4vity pisze: 3 mar 2022, o 03:57f) \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)
Rysowałem i nic z tego... kawałki różnią się o: \(\displaystyle{ C \cap B}\)
Nie potrafię określić jakie inkluzje zachodzą..

No i tutaj zahaczamy właśnie o nieprecyzyjność polecenia. Wiesz, że \(\displaystyle{ B\cap C=\emptyset}\) i to jest - w pewnym sensie - najlepsza odpowiedź na pytanie "czemu jest równoważny warunek \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)". Gdybyś koniecznie miał użyć inkluzji, to rozłączność zbiorów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) jest równoważna np. z \(\displaystyle{ B \subseteq C'}\).

JK

Jan Kraszewski pisze: 3 mar 2022, o 12:39 Myślę, że wygodniej będzie zauważyć, że \(\displaystyle{ (A\cap C)\setminus B=\emptyset}\) i w zwiazku z tym pokazywać, że (równoważnie) \(\displaystyle{ A\cap C \subseteq B}\).

Jak pokazać tak oczywistą rzecz? Skoro część wspólna zbioru \(\displaystyle{ A }\)i \(\displaystyle{ C}\) z wyrzuceniem elementów zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem pustym to oczywistym jest, że część wspólna zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) musi zawierać się w zbiorze \(\displaystyle{ B}\). W jaki sposób pokazać to po matematycznemu.
Próbowałem przekształcać lewą stronę równania:
\(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B=A \cup B}\)
Rozpisuję lewą stronę oraz wykorzystuje prawo różnicy:
\(\displaystyle{ L=(A \cap C') \cup B}\)
Rozpisuję dalej lewą stronę oraz wykorzystuje prawo rozdzielności sumy względem iloczynu:
\(\displaystyle{ L=(A \cup B) \cap (B \cup C')}\)
Czyli :
\(\displaystyle{ L=(A \cup B) \cap (B \cup C')=(A \cup B)}\)
A z powyższej równości i twierdzenia o warunkach równoważnych zawieraniu zbiorów wynika, że: \(\displaystyle{ A \subset B \cup C'}\)
Nie potrafię dalej przekształcić tego do takiej postaci aby pokazać \(\displaystyle{ A\cap C \subseteq B}\). Nie jest to przypadkiem równoważne temu co pokazałem?

O ostatni przykład poproszę prowadzącego, nie chcę już zawracać Panu głowy tym postem, a wykańczają mnie tego typu zadania. Dziękuję

gr4vity pisze: 3 mar 2022, o 20:24Jak pokazać tak oczywistą rzecz?

To jest tak naprawdę zastosowanie twierdzenia mówiącego, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X,Y}\) mamy \(\displaystyle{ X \subseteq Y \Leftrightarrow X \setminus Y=\emptyset.}\) Takie twierdzenie mogło być na wykładzie, a jeśli nie, to dowodzi się je mniej więcej tak:

Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\). Pokażemy równoważnie, że \(\displaystyle{ X \not\subseteq Y \Leftrightarrow X \setminus Y\ne\emptyset.}\) Warunek \(\displaystyle{ X \not\subseteq Y}\) oznacza, że istnieje element \(\displaystyle{ x\in X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\notin Y}\), czyli równoważnie (z definicji różnicy zbiorów) istnieje \(\displaystyle{ x\in X\setminus Y}\), co z jest równoważne z \(\displaystyle{ X \setminus Y\ne\emptyset}\), co kończy dowód.

JK

Ja to twierdzenie, o wyniku działań mnogościowych, przy założonej inkluzji, udowadniam w następujący sposób.

Tzn. mamy fakt:

Jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami, to poniższe warunki są równoważne:

\(\displaystyle{ \textbf{1.} \ A\subset B.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{2.} \ A \cap B= A.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{3.} \ A \cup B=B.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{4.} \ A \setminus B= \left\{ \right\}=\emptyset.}\)


CIEKAWY DOWÓD:

Pokażemy, że \(\displaystyle{ \textbf{(1)} \Rightarrow\textbf{(2)} \Rightarrow \textbf{(3)} \Rightarrow \textbf{(4)} \Rightarrow \textbf{(1)}.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(1)} \rightarrow \textbf{(2)}.}\) Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ A \cap B=A}\). Niewątpliwie \(\displaystyle{ A \cap B\subset A}\). Aby pokazać inkluzję w drugą, to niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Z założenia mówiącego, że \(\displaystyle{ A\subset B}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x\in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\), i \(\displaystyle{ A\subset A \cap B.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(2)} \rightarrow \textbf{(3)}.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ A \cup B= B}\), to najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ A \cup B\supset B}\). Z założenia otrzymujemy \(\displaystyle{ A \cup B=\left( A \cap B\right) \cup B}\), a więc taki zbiór, jako suma dwóch podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\), i \(\displaystyle{ A \cup B\subset B}\), i \(\displaystyle{ A \cup B=B.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(3)} \rightarrow \textbf{(4)}.}\) Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ A \setminus B=\left\{ \right\}.}\) Na mocy założenia podstawiamy za zbiór \(\displaystyle{ B}\), i otrzymujemy: \(\displaystyle{ A \setminus B=A \setminus \left( A \cup B\right)=\left\{ \right\}}\), gdyż każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest elementem \(\displaystyle{ A \cup B.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(4)} \rightarrow \textbf{(1)}.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ A\subset B}\), to niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to mielibyśmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) byłby niepusty- sprzeczność z założeniem. A zatem musi być \(\displaystyle{ x\in B}\), i \(\displaystyle{ A\subset B}\).

A zatem \(\displaystyle{ \textbf{(1)} \Leftrightarrow \textbf{(2)} \Leftrightarrow \textbf{(3)} \Leftrightarrow \textbf{(4).} \square}\)

Myślę, że to ciekawy i prosty sposób.