Relacje inkluzji.

[gr4vity]

Zbadaj relacje inkluzji jeżeli prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ a) (A \cap B) \cup (C \cap B)=B}\)
\(\displaystyle{ (A \cap C) \cap B=B \Leftrightarrow B \subset (A \cup C)}\)
Czy taki cacko jest wystarczające? Należałoby tu coś dopisać od strony formalnej?

Jak zrobić te podpunkty, bardzo proszę o pomoc

e) \(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B=A \cup B}\)
f) \(\displaystyle{ (A \cup C) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)

[Jan Kraszewski]

Zbadaj relacje inkluzji jeżeli prawdziwa jest równość:

\(\displaystyle{ a) (A \cap B) \cup (C \cap B)=B}\)
\(\displaystyle{ (A \cap C) \cap B=B \Leftrightarrow B \subset (A \cup C)}\)
Czy taki cacko jest wystarczające? Należałoby tu coś dopisać od strony formalnej?

Wystarczające do czego? Napisałeś linijkę znaczków, która nie wystarcza do niczego.

Po pierwsze, czy rozumiesz w ogóle polecenie?

Po drugie, jeśli piszesz jakiekolwiek uzasadnienie/dowód, to jest ono prezentacją Twojego rozumowania i czytelnik - czytając to uzasadnienie - powinien móc odtworzyć tok tego rozumowania: jak wnioskowałeś, z czego korzystałeś itd. Pisząc używasz języka polskiego i czasami symboli matematycznych. Rozwiązanie nie jest ścianą znaczków.

Pamiętaj, że pisanie rozwiązania to NIE JEST przygotowywaniem escape roomu dla czytelnika, w którym musi on rozwiązać serię mocno nieoczywistych zagadek, żeby wyjść.

JK

[gr4vity]

Po pierwsze, czy rozumiesz w ogóle polecenie?

Wiem czym jest inkluzja, mam pokazać jaka jest relacja między zbiorami tzn. który zbiór zawiera się w którym.
Mój problem polega na tym, że nigdy nie widziałem przykładu rozwiązania takiego zadania, dlatego nie mam pojęcia jak to zrobić od strony formalnej.

Dodano po 1 godzinie 23 minutach 37 sekundach:
Mógłbym poprosić o rozwiązanie pełne chociaż tego pierwszego przykładu ?
Miałbym chociaż pogląd jak to powinno wyglądać.

[Jan Kraszewski]

Wiem czym jest inkluzja, mam pokazać jaka jest relacja między zbiorami tzn. który zbiór zawiera się w którym.

No cóż, takie polecenie jest o tyle nieprecyzyjne, że nie wiadomo, o jakie zbiory chodzi. Czasem chodzi tylko o inkluzje pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ A,B,C,}\) (tzn. inkluzje typu \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)) tutaj jednak może chodzić o to, jakiej inkluzji, w której występują zbiory \(\displaystyle{ A,B,C}\) równoważny jest podany warunek.

Mój problem polega na tym, że nigdy nie widziałem przykładu rozwiązania takiego zadania, dlatego nie mam pojęcia jak to zrobić od strony formalnej.

Napisać, skąd się to wzięło: zauważasz, że na mocy prawa rozdzielności sumy względem przekroju mamy \(\displaystyle{ (A \cap B) \cup (C \cap B)=(A \cup C) \cap B}\), co oznacza, że założenie jest równoważne równości \(\displaystyle{ (A \cup C) \cap B=B}\). Potem zaś powołujesz się na twierdzenie o warunkach równoważnych zawieraniu zbiorów żeby stwierdzić, że ten warunek jest równoważny warunkowi \(\displaystyle{ B \subseteq A \cup C.}\)

W pozostałych dwóch przypadkach warto najpierw ustalić, do czego zmierzamy. W tym celu warto narysować diagramy Venna obu stron, czyli np. \(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B}\) i \(\displaystyle{ A \cup B}\) i zobaczyć, czym się różnią - te kawałki muszą być zbiorami pustymi (bo w końcu założenie mówi o równości zbiorów). Stąd zazwyczaj łatwo możemy wywnioskować, jakie inkluzje zachodzą.

JK

[gr4vity]

e) \(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B=A \cup B}\)

i zobaczyć, czym się różnią - te kawałki muszą być zbiorami pustymi (bo w końcu założenie mówi o równości zbiorów). Stąd zazwyczaj łatwo możemy wywnioskować, jakie inkluzje zachodzą.

Z rysunku wynika, że: \(\displaystyle{ ((C \setminus B) \cap A)= \emptyset }\)
Czyli należy odpowiednimi przekształceniami wykazać, że: \(\displaystyle{ A \subset (B \cup C')}\) ?

f) \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)
Rysowałem i nic z tego... kawałki różnią się o: \(\displaystyle{ C \cap B}\)
Nie potrafię określić jakie inkluzje zachodzą..

[Jan Kraszewski]

Z rysunku wynika, że: \(\displaystyle{ ((C \setminus B) \cap A)= \emptyset }\)
Czyli należy odpowiednimi przekształceniami wykazać, że: \(\displaystyle{ A \subset (B \cup C')}\) ?

Myślę, że wygodniej będzie zauważyć, że \(\displaystyle{ (A\cap C)\setminus B=\emptyset}\) i w zwiazku z tym pokazywać, że (równoważnie) \(\displaystyle{ A\cap C \subseteq B}\).

f) \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)
Rysowałem i nic z tego... kawałki różnią się o: \(\displaystyle{ C \cap B}\)
Nie potrafię określić jakie inkluzje zachodzą..

No i tutaj zahaczamy właśnie o nieprecyzyjność polecenia. Wiesz, że \(\displaystyle{ B\cap C=\emptyset}\) i to jest - w pewnym sensie - najlepsza odpowiedź na pytanie "czemu jest równoważny warunek \(\displaystyle{ (A \cup B) \setminus C=(A \setminus C) \cup B}\)". Gdybyś koniecznie miał użyć inkluzji, to rozłączność zbiorów \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) jest równoważna np. z \(\displaystyle{ B \subseteq C'}\).

JK

[gr4vity]

Myślę, że wygodniej będzie zauważyć, że \(\displaystyle{ (A\cap C)\setminus B=\emptyset}\) i w zwiazku z tym pokazywać, że (równoważnie) \(\displaystyle{ A\cap C \subseteq B}\).

Jak pokazać tak oczywistą rzecz? Skoro część wspólna zbioru \(\displaystyle{ A }\)i \(\displaystyle{ C}\) z wyrzuceniem elementów zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem pustym to oczywistym jest, że część wspólna zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\) musi zawierać się w zbiorze \(\displaystyle{ B}\). W jaki sposób pokazać to po matematycznemu.
Próbowałem przekształcać lewą stronę równania:
\(\displaystyle{ (A \setminus C) \cup B=A \cup B}\)
Rozpisuję lewą stronę oraz wykorzystuje prawo różnicy:
\(\displaystyle{ L=(A \cap C') \cup B}\)
Rozpisuję dalej lewą stronę oraz wykorzystuje prawo rozdzielności sumy względem iloczynu:
\(\displaystyle{ L=(A \cup B) \cap (B \cup C')}\)
Czyli :
\(\displaystyle{ L=(A \cup B) \cap (B \cup C')=(A \cup B)}\)
A z powyższej równości i twierdzenia o warunkach równoważnych zawieraniu zbiorów wynika, że: \(\displaystyle{ A \subset B \cup C'}\)
Nie potrafię dalej przekształcić tego do takiej postaci aby pokazać \(\displaystyle{ A\cap C \subseteq B}\). Nie jest to przypadkiem równoważne temu co pokazałem?

O ostatni przykład poproszę prowadzącego, nie chcę już zawracać Panu głowy tym postem, a wykańczają mnie tego typu zadania. Dziękuję

[Jan Kraszewski]

Jak pokazać tak oczywistą rzecz?

To jest tak naprawdę zastosowanie twierdzenia mówiącego, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X,Y}\) mamy \(\displaystyle{ X \subseteq Y \Leftrightarrow X \setminus Y=\emptyset.}\) Takie twierdzenie mogło być na wykładzie, a jeśli nie, to dowodzi się je mniej więcej tak:

Ustalmy dowolne zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\). Pokażemy równoważnie, że \(\displaystyle{ X \not\subseteq Y \Leftrightarrow X \setminus Y\ne\emptyset.}\) Warunek \(\displaystyle{ X \not\subseteq Y}\) oznacza, że istnieje element \(\displaystyle{ x\in X}\) taki, że \(\displaystyle{ x\notin Y}\), czyli równoważnie (z definicji różnicy zbiorów) istnieje \(\displaystyle{ x\in X\setminus Y}\), co z jest równoważne z \(\displaystyle{ X \setminus Y\ne\emptyset}\), co kończy dowód.

JK

[Jakub Gurak]

Ja to twierdzenie, o wyniku działań mnogościowych, przy założonej inkluzji, udowadniam w następujący sposób.

Tzn. mamy fakt:

Jeśli \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami, to poniższe warunki są równoważne:

\(\displaystyle{ \textbf{1.} \ A\subset B.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{2.} \ A \cap B= A.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{3.} \ A \cup B=B.}\)
\(\displaystyle{ \textbf{4.} \ A \setminus B= \left\{ \right\}=\emptyset.}\)


CIEKAWY DOWÓD:

Pokażemy, że \(\displaystyle{ \textbf{(1)} \Rightarrow\textbf{(2)} \Rightarrow \textbf{(3)} \Rightarrow \textbf{(4)} \Rightarrow \textbf{(1)}.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(1)} \rightarrow \textbf{(2)}.}\) Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ A \cap B=A}\). Niewątpliwie \(\displaystyle{ A \cap B\subset A}\). Aby pokazać inkluzję w drugą, to niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Z założenia mówiącego, że \(\displaystyle{ A\subset B}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ x\in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x\in A \cap B}\), i \(\displaystyle{ A\subset A \cap B.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(2)} \rightarrow \textbf{(3)}.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ A \cup B= B}\), to najpierw zauważmy, że \(\displaystyle{ A \cup B\supset B}\). Z założenia otrzymujemy \(\displaystyle{ A \cup B=\left( A \cap B\right) \cup B}\), a więc taki zbiór, jako suma dwóch podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ B}\), i \(\displaystyle{ A \cup B\subset B}\), i \(\displaystyle{ A \cup B=B.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(3)} \rightarrow \textbf{(4)}.}\) Chcemy pokazać, że \(\displaystyle{ A \setminus B=\left\{ \right\}.}\) Na mocy założenia podstawiamy za zbiór \(\displaystyle{ B}\), i otrzymujemy: \(\displaystyle{ A \setminus B=A \setminus \left( A \cup B\right)=\left\{ \right\}}\), gdyż każdy element \(\displaystyle{ A}\) jest elementem \(\displaystyle{ A \cup B.}\)

\(\displaystyle{ \textbf{(4)} \rightarrow \textbf{(1)}.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ A\subset B}\), to niech \(\displaystyle{ x\in A}\). Gdyby byłoby \(\displaystyle{ x\not\in B}\), to mielibyśmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) byłby niepusty- sprzeczność z założeniem. A zatem musi być \(\displaystyle{ x\in B}\), i \(\displaystyle{ A\subset B}\).

A zatem \(\displaystyle{ \textbf{(1)} \Leftrightarrow \textbf{(2)} \Leftrightarrow \textbf{(3)} \Leftrightarrow \textbf{(4).} \square}\)

Myślę, że to ciekawy i prosty sposób.