Strona 1 z 1
Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 15 lut 2022, o 20:17
autor: hutsalo
Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala. Pomoże ktoś?
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 15 lut 2022, o 21:40
autor: Jan Kraszewski
A jaki masz z tym problem?
JK
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 16 lut 2022, o 13:46
autor: hutsalo
Taki że tutaj
granica sinx/x przeczytałem że nie powinno się obliczać takich przykładów jak ten korzystając z reguły de l’Hospitala. Ale musze to zrobić wykorzystując właśnie tą regułe.
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 16 lut 2022, o 14:12
autor: Niepokonana
Tego się nie liczy z tej reguły, bo trzeba wiedzieć, że ta granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i już. Ale jeżeli Ci każą tak liczyć to w mianowniku sinus zmieni się na cosinus (bo pochodna z sinusa to cosinus), a \(\displaystyle{ x}\) zmieni się na \(\displaystyle{ 1}\) (pochodna wielomianu/jednomianu). Tylko trzeba pamiętać, że według tej reguły robimy iloraz pochodnych, a nie pochodną ilorazu.
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 16 lut 2022, o 14:58
autor: a4karo
Wszystko zależy od tego w jaki sposób wprowadzono pojęcie sinusa. Istotnie, do policzenia pochodnej sinusa w klasycznej wersji konieczne jest obliczenie tej granicy i dostajemy węża, który zjada własny ogon. Ale można wprowadzić sinusa jako szereg potęgowy, albo jako rozwiązanie pewnego układu równań funkcyjnych i wtedy jak najbardziej można liczyć tę granicę używając reguły de l'Hospitala
@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 16 lut 2022, o 15:22
autor: Jan Kraszewski
hutsalo pisze: 16 lut 2022, o 13:46Ale musze to zrobić wykorzystując właśnie tą regułe.
Skoro tak Ci kazano, to po prostu to zrób... A wiedza, że w pewnych sytuacjach nie należy tego robić poszerzy Twoje horyzonty.
JK
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 17 lut 2022, o 13:55
autor: hutsalo
a4karo pisze: 16 lut 2022, o 14:58
Wszystko zależy od tego w jaki sposób wprowadzono pojęcie sinusa. Istotnie, do policzenia pochodnej sinusa w klasycznej wersji konieczne jest obliczenie tej granicy i dostajemy węża, który zjada własny ogon. Ale można wprowadzić sinusa jako szereg potęgowy, albo jako rozwiązanie pewnego układu równań funkcyjnych i wtedy jak najbardziej można liczyć tę granicę używając reguły de l'Hospitala
@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.
A możesz wytłumaczyć jak to zrobić?
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 17 lut 2022, o 14:26
autor: a4karo
Ale co zrobić?
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 18 lut 2022, o 15:32
autor: Niepokonana
hutsalo pisze: 17 lut 2022, o 13:55
A możesz wytłumaczyć jak to zrobić?
Ale ja już Ci powiedziałam XD
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 18 lut 2022, o 17:22
autor: janusz47
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} }\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x).}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(0) +\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{''}(c)}{2!} x^2}{x} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0}\frac{0 +x - \frac{\sin(c)}{2!}x^2}{x} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{\sin(c)}{2!}x \right) = 1.}\)
Dodano po 19 minutach 53 sekundach:
Zauważmy dodatkowo, że liczba \(\displaystyle{ c }\) jest odpowiednio dobraną liczbą wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ x.}\)
Zatem, gdy \(\displaystyle{ x }\) dąży do zera, to \(\displaystyle{ c }\) też dąży do zera, a stąd \(\displaystyle{ \frac{\sin(c)}{2!}}\) dąży do zera.
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 18 lut 2022, o 19:13
autor: Kordyt
No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 18 lut 2022, o 19:47
autor: janusz47
Rozwijamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \sin(x) }\) w szereg Taylora-Maclaurina.
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 18 lut 2022, o 20:00
autor: Jan Kraszewski
Kordyt pisze: 18 lut 2022, o 19:13
No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)
To już było dyskutowane. Polecenie wyjściowe było
hutsalo pisze: 15 lut 2022, o 20:17
Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala.
JK
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
: 18 lut 2022, o 20:30
autor: Kordyt
Jan Kraszewski pisze: 18 lut 2022, o 20:00
Kordyt pisze: 18 lut 2022, o 19:13
No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)
To już było dyskutowane. Polecenie wyjściowe było
hutsalo pisze: 15 lut 2022, o 20:17
Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala.
JK
No tak, dlatego właśnie zwracam uwagę że skoro ma być Hospitalem to ma być Hospitalem, to po co wzór Taylora skoro ani to Hospital, ani poprawne co do kolejności wyprowadzeN.