Matematyka.pl

OM, Wietnam, 2013

Wydaje mi się, że główna idea twórcy zadania polegała na tym, żeby znależć takie dwa wielomiany, że ich dowolne addytywne przesuniecia mają największy wspólny dzielnik stopnia \(\displaystyle{ 1}\). Wówczas jeśli dla pewnej wartości argumentu oba te wyrażenia są wymierne, to ta ten argument jest liczbą wymierną. Dodatkowo jeśli jeden z tych wielomianów jest unormowany i wyrażenia przyjmują całkowite wartości dla danego argumentu, to ten argument jest liczbą całkowitą.

WIemy, że istnieją liczby \(\displaystyle{ a,b\in \mathbb{Z}}\) takie, że
$$x^4 - x + a =0,x^3 - x + b =0$$
Rozpatrzmy wielomiany
$$t^4 - t + a,t^3 - t + b\in \mathbb{Z}[t]$$
Za pomocą algorytmu Euklidesa można wyznaczyć ich największy wspólny dzielnik w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}[t]}\). Wiadomo, że \(\displaystyle{ x}\) będzie pierwiastkiem tego największego wspólnego dzielnika. Wykonujemy algorytm Euklidesa (metodą Dreamera albo metodą Hornera). Mi wyszło, że
$$d(t) = \mathrm{NWD}(t^4 - t + a,t^3 - t + b) = \big((b+1)^2 - (a+1)\big)t - a(b+1) + b$$
Zresztą dokładna forma \(\displaystyle{ d(t)}\) jest nieważna. Istotne jest tylko to, że \(\displaystyle{ h(t)}\) jest wielomianem stopnia \(\displaystyle{ 1}\) o współczynnikach wymiernych. Z faktu, że \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ d(t)}\) wynika, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą wymierną. Jeśli liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ t^3 - t + b =0}\)
to \(\displaystyle{ p}\) musi być dzielnikiem wyrazu wolnego zaś \(\displaystyle{ q}\) musi być dzielnikiem najstarszego współczynnika. Stąd \(\displaystyle{ q|1}\) i ostatecznie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą.

Jaka będzie odpowiedź jeśli rozważy sie liczby \(\displaystyle{ x^3-x, x^2-x}\) jak i \(\displaystyle{ x - \sqrt[2]{x} , x - \sqrt[3]{x} }\) ?