Różnice
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11579
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy
Różnice
Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x^3-x}\) i \(\displaystyle{ x^4-x}\) są całkowite, to także \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą całkowitą.
Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Różnice
Skoro:
\(\displaystyle{ x^4-x , x^3-x}\) - całkowite to:
\(\displaystyle{ \frac{x^4-x}{x^3-x}= \frac{x^2+x+1}{x+1}=x+ \frac{1}{x+1} }\) - wymierna \(\displaystyle{ =w_{1} }\)
\(\displaystyle{ x+1+ \frac{1}{x+1} }\) - też wymierna \(\displaystyle{ =w}\)
niech:
\(\displaystyle{ x+1=t}\)
mamy:
\(\displaystyle{ t+ \frac{1}{t}=w}\)
lub:
\(\displaystyle{ t^2-wt+1=0}\)
\(\displaystyle{ t=x+1= \frac{w+ \sqrt{w^2-4} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{w-2+ \sqrt{w^2-4} }{2} }\)
Wystarczy wziąć tylko jeden pierwiastek...
postawimy do krótszej różnicy i mamy:
\(\displaystyle{ x^3-x= \frac{1}{2} \sqrt{w^2-4} \left( w^2-3w+1\right) + \frac{1}{2} \left( w^3-3w^2-w\right) +3}\)
Jak widać to po prawej musi być całkowite, jak na razie dla nas wystarczy by było wymierne więc musi być:
\(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\)
ale tu:
\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)
więc \(\displaystyle{ w}\) nijak nie będzie wymierne
Pozostaje nam aby:
\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}}\) - było wymierne czyli ma zachodzić:
\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}= \frac{c}{d} }\)
\(\displaystyle{ w= \frac{a}{b} }\)
mamy więc równanie:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} -4= \frac{c^2}{d^2} }\)
\(\displaystyle{ a, b, c, d}\) - całkowite
lub:
\(\displaystyle{ a^2d^2=4b^2d^2+c^2b^2}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ (ad)^2=(2bd)^2+(cb)^2}\)
lub:
\(\displaystyle{ z^2+(2y)^2=x^2}\)
jest to równanie Pitagorasa diofantyczne rozwiązania to:
\(\displaystyle{ x=ad=m^2+n^2}\)
\(\displaystyle{ y=bd=mn}\)
\(\displaystyle{ z=bc=m^2-n^2}\)
\(\displaystyle{ w= \frac{a}{b} = \frac{ad}{bd} = \frac{m^2+n^2}{mn} = \frac{m}{n}+ \frac{n}{m} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4} = \sqrt{\left( \frac{m}{n} + \frac{n}{m} \right)^2-4 } = \sqrt{ \left( \frac{m}{n} - \frac{n}{m} \right)^2}= \frac{m}{n} - \frac{n}{m}}\)
Jak widać są rozwiązania więc skoro:
\(\displaystyle{ x= \frac{w-2+ \sqrt{w^2-4} }{2}= \frac{m}{n}-1= \frac{a}{b} }\)
to co jest pierwiastkiem będzie wymierne więc możemy przypuszczać, że
(*) \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b} , (a,b)=1}\)
więc podstawmy (*) do:
\(\displaystyle{ x^3-x \wedge x^4-x}\)
Wiadomo, że obie te różnice są całkowite więc zajdzie:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^3} - \frac{a}{b}=c }\)
\(\displaystyle{ \frac{a^4}{b^4} - \frac{a}{b}=d }\)
lub:
\(\displaystyle{ a^3-ab^2=b^3c/ \cdot a}\)
\(\displaystyle{ a^4-ab^3=b^4d}\)
więc mamy:
\(\displaystyle{ a^4=a^2b^2+ab^3c}\)
\(\displaystyle{ a^4=ab^3+b^4d}\)
porównamy:
\(\displaystyle{ ab^3+b^4d = a^2b^2+ab^3c /:b^2}\)
\(\displaystyle{ ab+b^2d=a^2+abc}\)
z tego widać, że:
\(\displaystyle{ b|a^2}\)
ale mamy, że: \(\displaystyle{ (a,b)=1}\)
z tego widać, że: \(\displaystyle{ b=1}\), więc:
\(\displaystyle{ x=a}\) - całkowite cnd...
\(\displaystyle{ x^4-x , x^3-x}\) - całkowite to:
\(\displaystyle{ \frac{x^4-x}{x^3-x}= \frac{x^2+x+1}{x+1}=x+ \frac{1}{x+1} }\) - wymierna \(\displaystyle{ =w_{1} }\)
\(\displaystyle{ x+1+ \frac{1}{x+1} }\) - też wymierna \(\displaystyle{ =w}\)
niech:
\(\displaystyle{ x+1=t}\)
mamy:
\(\displaystyle{ t+ \frac{1}{t}=w}\)
lub:
\(\displaystyle{ t^2-wt+1=0}\)
\(\displaystyle{ t=x+1= \frac{w+ \sqrt{w^2-4} }{2}}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{w-2+ \sqrt{w^2-4} }{2} }\)
Wystarczy wziąć tylko jeden pierwiastek...
postawimy do krótszej różnicy i mamy:
\(\displaystyle{ x^3-x= \frac{1}{2} \sqrt{w^2-4} \left( w^2-3w+1\right) + \frac{1}{2} \left( w^3-3w^2-w\right) +3}\)
Jak widać to po prawej musi być całkowite, jak na razie dla nas wystarczy by było wymierne więc musi być:
\(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\)
ale tu:
\(\displaystyle{ \Delta= \sqrt{5} }\)
więc \(\displaystyle{ w}\) nijak nie będzie wymierne
Pozostaje nam aby:
\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}}\) - było wymierne czyli ma zachodzić:
\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}= \frac{c}{d} }\)
\(\displaystyle{ w= \frac{a}{b} }\)
mamy więc równanie:
\(\displaystyle{ \frac{a^2}{b^2} -4= \frac{c^2}{d^2} }\)
\(\displaystyle{ a, b, c, d}\) - całkowite
lub:
\(\displaystyle{ a^2d^2=4b^2d^2+c^2b^2}\)
inaczej:
\(\displaystyle{ (ad)^2=(2bd)^2+(cb)^2}\)
lub:
\(\displaystyle{ z^2+(2y)^2=x^2}\)
jest to równanie Pitagorasa diofantyczne rozwiązania to:
\(\displaystyle{ x=ad=m^2+n^2}\)
\(\displaystyle{ y=bd=mn}\)
\(\displaystyle{ z=bc=m^2-n^2}\)
\(\displaystyle{ w= \frac{a}{b} = \frac{ad}{bd} = \frac{m^2+n^2}{mn} = \frac{m}{n}+ \frac{n}{m} }\)
\(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4} = \sqrt{\left( \frac{m}{n} + \frac{n}{m} \right)^2-4 } = \sqrt{ \left( \frac{m}{n} - \frac{n}{m} \right)^2}= \frac{m}{n} - \frac{n}{m}}\)
Jak widać są rozwiązania więc skoro:
\(\displaystyle{ x= \frac{w-2+ \sqrt{w^2-4} }{2}= \frac{m}{n}-1= \frac{a}{b} }\)
to co jest pierwiastkiem będzie wymierne więc możemy przypuszczać, że
(*) \(\displaystyle{ x= \frac{a}{b} , (a,b)=1}\)
więc podstawmy (*) do:
\(\displaystyle{ x^3-x \wedge x^4-x}\)
Wiadomo, że obie te różnice są całkowite więc zajdzie:
\(\displaystyle{ \frac{a^3}{b^3} - \frac{a}{b}=c }\)
\(\displaystyle{ \frac{a^4}{b^4} - \frac{a}{b}=d }\)
lub:
\(\displaystyle{ a^3-ab^2=b^3c/ \cdot a}\)
\(\displaystyle{ a^4-ab^3=b^4d}\)
więc mamy:
\(\displaystyle{ a^4=a^2b^2+ab^3c}\)
\(\displaystyle{ a^4=ab^3+b^4d}\)
porównamy:
\(\displaystyle{ ab^3+b^4d = a^2b^2+ab^3c /:b^2}\)
\(\displaystyle{ ab+b^2d=a^2+abc}\)
z tego widać, że:
\(\displaystyle{ b|a^2}\)
ale mamy, że: \(\displaystyle{ (a,b)=1}\)
z tego widać, że: \(\displaystyle{ b=1}\), więc:
\(\displaystyle{ x=a}\) - całkowite cnd...
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Różnice
Nieprawda. \(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}}\) spokojnie może być liczbą wymierną dla \(\displaystyle{ w\in \QQ}\) (przykład to \(\displaystyle{ w=2}\)), toteż wcale nie musi być.arek1357 pisze: ↑3 lut 2022, o 19:29
postawimy do krótszej różnicy i mamy:
\(\displaystyle{ x^3-x= \frac{1}{2} \sqrt{w^2-4} \left( w^2-3w+1\right) + \frac{1}{2} \left( w^3-3w^2-w\right) +3}\)
Jak widać to po prawej musi być całkowite, jak na razie dla nas wystarczy by było wymierne więc musi być:
\(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Różnice
To przeczytaj jeszcze kilka razy.
W zacytowanym fragmencie arek z wymierności RHS w nieuprawniony sposób wyciągnął wniosek, że musi zachodzić \(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\). Zapewne rozumowanie przebiegało tak: po lewej, zgodnie z treścią, mamy liczbę całkowitą, ergo wymierną, po prawej zatem także. No ale RHS to jest suma liczby ewidentnie wymiernej i tego wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}\left(w^2-3w+1\right)}\). No a to ostatnie jest iloczynem liczby wymiernej \(\displaystyle{ w^2-3w+1}\) i "czegoś z pierwiastkiem", więc żeby "coś z pierwiastkiem" nie psuło wymierności, trzeba ten iloczyn wyzerować (i otóż nie trzeba, bo niekiedy ten iloczyn jest wymierny mimo że \(\displaystyle{ w^2-3w+1\neq 0}\)).
Nie wiem, czego tutaj można nie zrozumieć, zacytowałem fragment i się doń odniosłem, wskazując, że stwierdzony przez arka "warunek konieczny" wcale takim nie jest.
W zacytowanym fragmencie arek z wymierności RHS w nieuprawniony sposób wyciągnął wniosek, że musi zachodzić \(\displaystyle{ w^2-3w+1=0}\). Zapewne rozumowanie przebiegało tak: po lewej, zgodnie z treścią, mamy liczbę całkowitą, ergo wymierną, po prawej zatem także. No ale RHS to jest suma liczby ewidentnie wymiernej i tego wyrażenia \(\displaystyle{ \sqrt{w^2-4}\left(w^2-3w+1\right)}\). No a to ostatnie jest iloczynem liczby wymiernej \(\displaystyle{ w^2-3w+1}\) i "czegoś z pierwiastkiem", więc żeby "coś z pierwiastkiem" nie psuło wymierności, trzeba ten iloczyn wyzerować (i otóż nie trzeba, bo niekiedy ten iloczyn jest wymierny mimo że \(\displaystyle{ w^2-3w+1\neq 0}\)).
Nie wiem, czego tutaj można nie zrozumieć, zacytowałem fragment i się doń odniosłem, wskazując, że stwierdzony przez arka "warunek konieczny" wcale takim nie jest.
-
- Użytkownik
- Posty: 73
- Rejestracja: 8 paź 2021, o 20:06
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 14 razy
Re: Różnice
Dziękuję.
Kwestia lenistwa, zbyt pobieżnie przejrzałem rozumowanie arka, stąd niezrozumienie do czego się w ogóle odnosisz. Przepraszam.
Kwestia lenistwa, zbyt pobieżnie przejrzałem rozumowanie arka, stąd niezrozumienie do czego się w ogóle odnosisz. Przepraszam.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Różnice
No chyba nie czytałeś posta do końca oczywiście napisałem , że to co w nawiasie musi być równe zero ale jeżeli to nie jest zero to wziąłem na tapetę pierwiastek i rozwiązuję go tak , żeby był wymierny widziałeś nie widziałeś czy żartujesz???spokojnie może być liczbą wymierną dla w
Jeszcze raz dla ciężej myślących:
Pierwszy punkt w którym zredukowałem do absurdu, że nawias może być zerowy więc skoro nie jest zerowy to czepiłem się pierwiastka, żeby był wymierny... Czy to teraz jest jasne???
[ciach]
Ostatnio zmieniony 3 lut 2022, o 22:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Trzymaj się tematu.
Powód: Trzymaj się tematu.
-
- Administrator
- Posty: 34485
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Różnice
No i to był Twój błąd - to sformułowanie jest niepoprawne. Rozumowanie nie wprost formułuje się inaczej.
Na
Kod: Zaznacz cały
https://sjp.pwn.pl/poradnia/haslo/na-tapet-czy-na-tapete;15076.html
JK
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Różnice
Uwaga Premislava nie miała żadnego sensu ponieważ można było wyciągnąć wnioski z dalszej części zadania a uwaga była tak sformułowana jakbym skończył na tym rozwiązywać i nie było dalszego ciągu, lecz już skoro napisał taką uwagę miał prawo owszem , to powinien odnieść się do dalszej części gdzie rozpatrzyłem drugi przypadek...(Jest jak byk w wersji dla niewidzących i niesłyszących)!!!
Bo tak trudno było się rzeczywiście domyśleć. Tak można by pisać jakby dalej nie było nic a było więc można się odnieść łaskawie...
Można było coś powiedzieć ale trzeba było odnieść się do dalszej części gdzie reszta rozumowania jest dokończona...
Dodano po 12 minutach 59 sekundach:
Zresztą zadanie długo leżało mógł jakiś krytykancki krytykant wcześniej rozwiązać bez błędnie sformułowanego zdańka, które przekreśliło całe rozwiązanie... Lecz nie pójdę z tym do sadu...!!!
Dodano po 22 minutach 57 sekundach:
U nas na takie poprawki niby prawdziwe a upierdliwe mówi się "świńskie poprawki"...
Bo tak trudno było się rzeczywiście domyśleć. Tak można by pisać jakby dalej nie było nic a było więc można się odnieść łaskawie...
Można było coś powiedzieć ale trzeba było odnieść się do dalszej części gdzie reszta rozumowania jest dokończona...
Tak tylko jest dalsza część a czepialstwo to domena "sfrustrowanych pań ot fszystkiego"No i to był Twój błąd - to sformułowanie jest niepoprawne.
Dodano po 12 minutach 59 sekundach:
Zresztą zadanie długo leżało mógł jakiś krytykancki krytykant wcześniej rozwiązać bez błędnie sformułowanego zdańka, które przekreśliło całe rozwiązanie... Lecz nie pójdę z tym do sadu...!!!
Dodano po 22 minutach 57 sekundach:
U nas na takie poprawki niby prawdziwe a upierdliwe mówi się "świńskie poprawki"...
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Różnice
Ostatnio czytam "Ekonomię polityczną" autorstwa wybitnego ekonomisty, agenta NKGB, Budowniczego Polski Ludowej prof. Oskara Langego. Polecam wszystkim. Dużo pożyteczniejsza lektura niż nauka matematyki.
W każdym razie wydaje mi się, że można to zadanie rozwiązać łatwiej niż Arek, o ile jego rozwiązanie jest poprawne (nie będę się wypowiadał na ten temat, bo nie czytałem).
W każdym razie wydaje mi się, że można to zadanie rozwiązać łatwiej niż Arek, o ile jego rozwiązanie jest poprawne (nie będę się wypowiadał na ten temat, bo nie czytałem).
Ukryta treść:
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Różnice
Stwierdzono, że niepoprawne bo zrobiłem błąd wypowiedzi, zresztą warto byś to prześledził razem z tą durną otoczką, bo nie mówię że w jednym miejscu wypowiedź mogła sugerować co inne niż było zamierzone, ale potem odniosłem się do swojej kontrowersyjnej wypowiedzi prostując i rozwijając temat prawidłowo... Więc to całe zamieszanie było idiotyczne... a na pewno upierdliwe...o ile jego rozwiązanie jest poprawne
- Slup
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 27 maja 2016, o 20:49
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 23 razy
- Pomógł: 156 razy
Re: Różnice
Nie sprawdzałem rachunków, ale o ile się nie pomyliłeś w jakichś przekształceniach, to według mnie jest w porządku. Dam +1.arek1357 pisze: ↑4 lut 2022, o 11:45 Stwierdzono, że niepoprawne bo zrobiłem błąd wypowiedzi, zresztą warto byś to prześledził razem z tą durną otoczką, bo nie mówię że w jednym miejscu wypowiedź mogła sugerować co inne niż było zamierzone, ale potem odniosłem się do swojej kontrowersyjnej wypowiedzi prostując i rozwijając temat prawidłowo... Więc to całe zamieszanie było idiotyczne... a na pewno upierdliwe...
Mógłbyś jednak staranniej redagować takie rozwiązania. Ciężko to się czyta. Komunikowanie innym matematykom swoich pomysłów jest bardzo ważne. Wiadomo, że od razu nie będziesz tego robił sprawnie, ale jeśli zaczniesz się starać, to z czasem będzie coraz lepiej.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11579
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3167 razy
- Pomógł: 749 razy