Matematyka.pl

Wykaż, że ze wszystkich trójkątów prostokątnych o stałym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt równoramienny.

Zadanie bez użycia pochodnych, zaciąłem się przy nierównościach pomiędzy średnimi...

Niech \(\displaystyle{ a+b+c = p}\) będzie tym ustalonym obwodem. Wtedy pole, które mamy optymalizować to \(\displaystyle{ P = \frac{rp}{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ r}\) jest promieniem okręgu wpisanego. Więc zamiast optymalizować pole, możemy zoptymalizować ten promień. Ale jak się zrobi rysunek, to prosto widać, że zachodzi \(\displaystyle{ c = (a-r) + (b-r)}\), czyli \(\displaystyle{ r = \frac{p}{2} - c}\). Wobec tego znowu, zamiast maksymalizować promień, możemy zminimalizować bok \(\displaystyle{ c}\).

Podsumowując, problem sprowadza się do znalezienia minimum \(\displaystyle{ c = \sqrt{a^2+b^2}}\) z warunkiem \(\displaystyle{ a+b+c = p}\), co już łatwo idzie z nierówności miedzy średnią kwadratową a arytmetyczną.

Pokazanie, że ze wszystkich trójkątów równoramiennych o ograniczonym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt prostokątny jest trywialne (\(\displaystyle{ \sin\alpha\leq 1}\)).

bedbet pisze: ↑6 sty 2022, o 12:25 Pokazanie, że ze wszystkich trójkątów równoramiennych o ograniczonym obwodzie największe pole będzie miał trójkąt prostokątny jest trywialne (\(\displaystyle{ \sin\alpha\leq 1}\)).

Co nie ma żadnego związku z zadaniem...

JK

Największe pole trójkąta przy zadanym obwodzie

To też nie ma związku. Chyba że są trójkąty równoboczno-prostokątne

Możemy zastosować równość, która wyraża związek pomiędzy sumą, różnicą i iloczynem dwóch dowolnych liczb \(\displaystyle{ a, b, }\)

\(\displaystyle{ \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4} = a\cdot b.}\)

Na podstawie tej równości można wykazać, że jeżeli dwa dowolne boki o długościach \(\displaystyle{ a, b }\) zmieniają się w ten sposób , że ich suma długości jest stała, a więc długość trzeciego boku \(\displaystyle{ c }\) przy stałym obwodzie też jest stała, to w przypadku gdy iloczyn długości boków \(\displaystyle{ a\cdot b }\) osiąga wartość największą - otrzymujemy równość \(\displaystyle{ a = b. }\)

Dziękuję za wskazówki.