Największe pole trójkąta przy zadanym obwodzie

[patry93]

Witam.

Jaki trójkąt ma największe pole, jeżeli obwód wszystkich rozważanych trójkątów jest stały?

[Inkwizytor]

Ten który ma największy promień okręgu wpisanego [Wzór w tablicach]

[patry93]

Hehe, zgadza się, ale wtedy zadanie sprowadza się do: jaki trójkąt o zadanym promieniu okręgu wpisanego ma największe pole? Osobiście nie znam wzoru, który łączyłby tylko i wyłącznie promień okręgu wpisanego z polem, a taki zapewne przydałby się teraz

[Zordon]

Największe pole będzie miał trójkąt równoboczny, dowód jest mniej więcej taki:
Załóżmy, że inny trójkąt (nie równoboczny) ma taką własność, że minimalizuje pole przy zadanym obwodzie \(\displaystyle{ L}\), oznaczmy jego boki przez \(\displaystyle{ a,b,c}\). Niech np. \(\displaystyle{ a<b}\), wtedy modyfikując ten trójkąt tak, aby miał boki \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c}\) dostaniemy taki sam obwód, ale większe pole (ale to właśnie trzeba uzasadnić).

[bosa_Nike]

Wzór Herona można wykorzystać i nierówność między średnimi.

[patry93]

Hm, więc jeśli szacujemy Heronem, to możemy odrzucić wszystko to, co jest stałe, więc problem sprowadza się do znalezienia takich \(\displaystyle{ a,b,c}\), że \(\displaystyle{ f(a,b,c)=(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}\) osiąga wartość maksymalną (dzielenia "wewnątrz nawiasów" przez 2 oraz \(\displaystyle{ p}\) przed nawiasami zlikwidowane, jako stałe).
Nie wiem czy dobrze zrozumiałem podpowiedź, ale w takim razie będzie tak:
\(\displaystyle{ (-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) \le ( \frac{-a+b+c+a-b+c+a+b-c}{3} )^3 = ( \frac{a+b+c}{3} )^3 = \frac{(a+b+c)^3}{27}}\)
Nie wiem czy dobrze wnioskuję, ale z powyższego widzimy, że wartość maksymalna jest stała (dziwnie to brzmi ), natomiast osiągana jest, na mocy zależności między średnimi, gdy zmienne są równe, tj. \(\displaystyle{ a=b=c}\).
Tak?

[bosa_Nike]

Tak będzie. Jak podorzucasz to, co poodrzucałeś, to mniej więcej tak:

\(\displaystyle{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\le \sqrt{p}\cdot\left(\frac{(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}\right)^{3/2}=\\ \sqrt{p}\cdot\frac{p^{3/2}}{3\sqrt{3}}=\left(\frac{L}{3}\right)^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}}\)