Zbiory symetryczne względem 0
: 3 sty 2022, o 21:05
Udowodniłem wczoraj, że podzbiory zbioru liczb rzeczywistych symetryczne względem zera mają pewną niesłychaną własność: jeśli rozważymy porządek naturalny na takim dowolnym ustalonym zbiorze i porządek do niego odwrotny, to te dwa porządki są podobne. Zadziwiające. Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory symetryczne względem zera , to ich różnica jest zbiorem symetrycznym względem zera, i, co za tym idzie, ich różnica symetryczna jest zbiorem symetrycznym względem zera, i dopełnienie ( do \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera. Zaraz podam definicję tego prostego pojęcia, i przedstawię dowody tych ciekawych faktów.
Podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy zbiorem symetrycznym względem zera, gdy spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ x\in A \Longrightarrow \left( -x\right)\in A.}\)
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.
Bardzo proste obserwacje:
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0,}\) i ich przekrój jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\).
Łatwo to można udowodnić.
Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są symetryczne względem zera, to ich różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczna względem zera.
Dowód:
Mamy \(\displaystyle{ A \setminus B \subset A\subset \RR}\), a więc \(\displaystyle{ A \setminus B\subset \RR}\), jak trzeba.
Aby wykazać, że jest to zbiór symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to weźmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\).
Mamy \(\displaystyle{ x\in A, x\not\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left( -x\right)\in A.}\)
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem symetryczny względem zera, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ -\left( -x\right) \in B }\), czyli, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ (-x)\not\in B.}\)
Mamy \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), zatem \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\), i zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)
Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
PROSTY DOWÓD:
Mamy \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to na mocy faktu udowodnionego przed chwilą: zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0,}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ B \setminus A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), w efekcie ich unia (suma) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right) }\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)
I dopełnienie ( do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
( Dla dowodu wystarczy zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), i wykorzystać udowodniony fakt z różnicą)\(\displaystyle{ .\square}\)
Pozostał nam do udowodnienia jeden fakt.
Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i jeśli rozważymy na tym zbiorze porządek naturalny i porządek doń odwrotny, to te dwa porządki są podobne, tzn. \(\displaystyle{ (A, \le _{|A}=: \le _A ) \approx \left( A, \ge _A:= \left( \le _A\right) ^{-1} \right) .}\)
Dowód:
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), daną jako:
\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)\in A}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.
Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz, że jest 'na' , wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.
Pokażemy, że jest monotoniczna.
Jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\), i \(\displaystyle{ x_1 \le _A x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -x_1 \ge -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1) \ge f(x_2).}\) Mamy \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2)\in A}\), więc również \(\displaystyle{ f(x_2) \le _A f(x_1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1) \le _A ^{-1} f(x_2)}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną z \(\displaystyle{ (A, \le _A)}\)- ze zbioru liniowo uporządkowanego, w \(\displaystyle{ \left( A, \ge _A= \left( \le _A\right) ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ (A, \le _A ) \approx \left( A, \ge _A\right).\square}\)
Również, na dowolnym ustalonym zbiorze symetrycznym względem zera, jest tyle samo funkcji silnie rosnących co funkcji silnie malejących, który to fakt udowodniłem TUTAJ, W OSTATNIM MOIM POŚCIE.
Podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy zbiorem symetrycznym względem zera, gdy spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ x\in A \Longrightarrow \left( -x\right)\in A.}\)
Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.
Bardzo proste obserwacje:
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0,}\) i ich przekrój jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\).
Łatwo to można udowodnić.
Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są symetryczne względem zera, to ich różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczna względem zera.
Dowód:
Mamy \(\displaystyle{ A \setminus B \subset A\subset \RR}\), a więc \(\displaystyle{ A \setminus B\subset \RR}\), jak trzeba.
Aby wykazać, że jest to zbiór symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to weźmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\).
Mamy \(\displaystyle{ x\in A, x\not\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left( -x\right)\in A.}\)
Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem symetryczny względem zera, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ -\left( -x\right) \in B }\), czyli, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ (-x)\not\in B.}\)
Mamy \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), zatem \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\), i zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)
Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
PROSTY DOWÓD:
Mamy \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to na mocy faktu udowodnionego przed chwilą: zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0,}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ B \setminus A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), w efekcie ich unia (suma) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right) }\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)
I dopełnienie ( do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)
( Dla dowodu wystarczy zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), i wykorzystać udowodniony fakt z różnicą)\(\displaystyle{ .\square}\)
Pozostał nam do udowodnienia jeden fakt.
Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i jeśli rozważymy na tym zbiorze porządek naturalny i porządek doń odwrotny, to te dwa porządki są podobne, tzn. \(\displaystyle{ (A, \le _{|A}=: \le _A ) \approx \left( A, \ge _A:= \left( \le _A\right) ^{-1} \right) .}\)
Dowód:
Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), daną jako:
\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)\in A}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.
Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz, że jest 'na' , wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.
Pokażemy, że jest monotoniczna.
Jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\), i \(\displaystyle{ x_1 \le _A x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -x_1 \ge -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1) \ge f(x_2).}\) Mamy \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2)\in A}\), więc również \(\displaystyle{ f(x_2) \le _A f(x_1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1) \le _A ^{-1} f(x_2)}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.
Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną z \(\displaystyle{ (A, \le _A)}\)- ze zbioru liniowo uporządkowanego, w \(\displaystyle{ \left( A, \ge _A= \left( \le _A\right) ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ (A, \le _A ) \approx \left( A, \ge _A\right).\square}\)
Również, na dowolnym ustalonym zbiorze symetrycznym względem zera, jest tyle samo funkcji silnie rosnących co funkcji silnie malejących, który to fakt udowodniłem TUTAJ, W OSTATNIM MOIM POŚCIE.