Zbiory symetryczne względem 0

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1012
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 62 razy

Zbiory symetryczne względem 0

Post autor: Jakub Gurak » 3 sty 2022, o 21:05

Udowodniłem wczoraj, że podzbiory zbioru liczb rzeczywistych symetryczne względem zera mają pewną niesłychaną własność: jeśli rozważymy porządek naturalny na takim dowolnym ustalonym zbiorze i porządek do niego odwrotny, to te dwa porządki są podobne. Zadziwiające. Udowodniłem też wczoraj, że jeśli mamy dwa zbiory symetryczne względem zera , to ich różnica jest zbiorem symetrycznym względem zera, i, co za tym idzie, ich różnica symetryczna jest zbiorem symetrycznym względem zera, i dopełnienie ( do \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem zera jest zbiorem symetrycznym względem zera. Zaraz podam definicję tego prostego pojęcia, i przedstawię dowody tych ciekawych faktów.


Podzbiór \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) zbioru liczb rzeczywistych, nazywamy zbiorem symetrycznym względem zera, gdy spełniony jest warunek:

\(\displaystyle{ x\in A \Longrightarrow \left( -x\right)\in A.}\)

Czyli zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.

Bardzo proste obserwacje:

Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0,}\) i ich przekrój jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\).

Łatwo to można udowodnić.


Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są symetryczne względem zera, to ich różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczna względem zera.

Dowód:

Mamy \(\displaystyle{ A \setminus B \subset A\subset \RR}\), a więc \(\displaystyle{ A \setminus B\subset \RR}\), jak trzeba.

Aby wykazać, że jest to zbiór symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to weźmy \(\displaystyle{ x\in A \setminus B}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\).
Mamy \(\displaystyle{ x\in A, x\not\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), to możemy wnioskować, że \(\displaystyle{ \left( -x\right)\in A.}\)

Przypuśćmy teraz, że \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem symetryczny względem zera, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ -\left( -x\right) \in B }\), czyli, że: \(\displaystyle{ x\in B}\) -sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ (-x)\not\in B.}\)

Mamy \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), zatem \(\displaystyle{ (-x) \in A \setminus B}\), i zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)


Wykażemy teraz, że jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B\subset \RR}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to ich różnica symetryczna \(\displaystyle{ A\oplus B}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)

PROSTY DOWÓD:

Mamy \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ A,B}\) są zbiorami symetrycznymi względem \(\displaystyle{ 0}\), to na mocy faktu udowodnionego przed chwilą: zbiór \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0,}\) i podobnie zbiór \(\displaystyle{ B \setminus A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), w efekcie ich unia (suma) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ A\oplus B= (A \setminus B) \cup \left( B \setminus A\right) }\) jest symetryczna względem \(\displaystyle{ 0. \square}\)

I dopełnienie ( do zbioru \(\displaystyle{ \RR}\)) zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)

( Dla dowodu wystarczy zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), i wykorzystać udowodniony fakt z różnicą)\(\displaystyle{ .\square}\)


Pozostał nam do udowodnienia jeden fakt.

Jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i jeśli rozważymy na tym zbiorze porządek naturalny i porządek doń odwrotny, to te dwa porządki są podobne, tzn. \(\displaystyle{ (A, \le _{|A}=: \le _A ) \approx \left( A, \ge _A:= \left( \le _A\right) ^{-1} \right) .}\)

Dowód:

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A}\), daną jako:

\(\displaystyle{ f(x)=-x.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ (-x)\in A}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)\in A}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest dobrze określona.

Łatwo jest pokazać, że taka funkcja jest różnowartościowa oraz, że jest 'na' , wobec czego funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją.

Pokażemy, że jest monotoniczna.

Jeśli \(\displaystyle{ x_1, x_2\in A}\), i \(\displaystyle{ x_1 \le _A x_2}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ -x_1 \ge -x_2}\), czyli \(\displaystyle{ f(x_1) \ge f(x_2).}\) Mamy \(\displaystyle{ f(x_1), f(x_2)\in A}\), więc również \(\displaystyle{ f(x_2) \le _A f(x_1)}\), a zatem \(\displaystyle{ f(x_1) \le _A ^{-1} f(x_2)}\), i funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna.

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją monotoniczną z \(\displaystyle{ (A, \le _A)}\)- ze zbioru liniowo uporządkowanego, w \(\displaystyle{ \left( A, \ge _A= \left( \le _A\right) ^{-1}\right) }\)- zbiór liniowo uporządkowany, więc funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, i \(\displaystyle{ (A, \le _A ) \approx \left( A, \ge _A\right).\square}\) :D

Również, na dowolnym ustalonym zbiorze symetrycznym względem zera, jest tyle samo funkcji silnie rosnących co funkcji silnie malejących, który to fakt udowodniłem TUTAJ, W OSTATNIM MOIM POŚCIE. :D

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1012
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 62 razy

Re: Zbiory symetryczne względem 0

Post autor: Jakub Gurak » 24 kwie 2022, o 23:00

Udowodniłem dzisiaj, że jeśli \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ B\subset A}\) przedziałem w nim, to zbiór wszystkich wartości przeciwnych, do elementów tego przedziału, również jest przedziałem. Ten fakt może mi się przydać w pewnych rozważaniach w zbiorze liczb całkowitych, bo zbiór liczb całkowitych niewątpliwie jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\). Przedstawię teraz dowód tego faktu.

Niech \(\displaystyle{ A\subset \RR}\) będzie zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) ( zbiorem liniowo uporządkowanym z naturalnym porządkiem). Oraz niech \(\displaystyle{ B\subset A}\) będzie przedziałem w \(\displaystyle{ A}\). Wykażemy, że również zbiór \(\displaystyle{ -B,}\) zdefiniowany jako:

\(\displaystyle{ -B=\left\{ -b\Bigl| \ b\in B\right\}}\),

jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\).

Przypomnę może jeszcze, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right),}\) podzbiór \(\displaystyle{ C\subset X}\) nazywamy przedziałem, gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ c_1,c_2\in C,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X}\), takiego, że \(\displaystyle{ c_1<x<c_2,}\) zachodzi: \(\displaystyle{ x\in C}\),

czyli zbiór jest przedziałem, gdy z każdymi jego dwoma elementami każdy pośredni element zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\) jest elementem tego przedziału.


DOWÓD NASZEGO FAKTU:

Zauważmy najpierw, że jeśli \(\displaystyle{ b\in B}\), to \(\displaystyle{ b\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również \(\displaystyle{ \left( -b\right)\in A}\), a więc \(\displaystyle{ -B\subset A,}\) jak trzeba.

Aby wykazać, że ten zbiór jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), to niech \(\displaystyle{ b_1,b_2 \in \left( -B\right)}\), i niech \(\displaystyle{ x\in A}\) będzie taką liczbą rzeczywistą, że: \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\). I pokażemy, że: \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ b_1,b_2\in \left( -B\right)}\), więc \(\displaystyle{ b_1=-c_1}\), gdzie \(\displaystyle{ c_1\in B}\); oraz \(\displaystyle{ b_2=-c_2}\), gdzie \(\displaystyle{ c_2\in B}\). Ponieważ \(\displaystyle{ b_1<x<b_2}\), więc \(\displaystyle{ -b_1>-x>-b_2}\), a zatem \(\displaystyle{ c_1=-\left( -c_1\right)>-x>-\left( -c_2\right) =c_2}\), czyli

\(\displaystyle{ B\ni c_2<-x<c_1\in B}\),

i \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest przedziałem w \(\displaystyle{ A}\), więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in B}\), a zatem \(\displaystyle{ x=-\left( -x\right)\in \left( -B\right)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in \left( -B\right).\square}\) :D

ODPOWIEDZ