Matematyka.pl

Witam,

Ostatnio zauważyłem pewną zależność przy obliczaniu pierwiastków wielomianu, ale nie wiem czy to prawda. Mianowicie, jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) taki, że współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od \(\displaystyle{ 1}\), to wielomian ten będzie posiadał przynajmniej jeden pierwiastek niecałkowity. Pomijam tu wielokrotności wielomianów o pierwiastkach całkowitych, np.
\(\displaystyle{ W(x) = x^2 + 2x + 1}\) oraz \(\displaystyle{ P(x) = 4x^2 + 8x + 4}\) mają pierwiastek \(\displaystyle{ -1}\), ale \(\displaystyle{ P(x) = 4W(x)}\), dlatego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie biorę pod uwagę.

Z kolei dla np. \(\displaystyle{ W(x) = 2x^2 + 6x - 3}\) zakładam istnienie pierwiastka niecałkowitego, ponieważ współczynnika przy najwyższej potędze nie wyłączę przed nawias w zwyczajny sposób.


Czy taka zależność lub jej podobna jest prawdziwa?

A co powiesz o wielomianie \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(2x^2+x+1)=2x^3-x^2-1}\) ?

JK

Wielomian \(\displaystyle{ 2x ^{2} + x + 1 }\) ma pierwiastki zespolone, więc nie są całkowite.

Warden23 pisze: 30 gru 2021, o 00:52 Ostatnio zauważyłem pewną zależność przy obliczaniu pierwiastków wielomianu, ale nie wiem czy to prawda. Mianowicie, jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) taki, że współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od \(\displaystyle{ 1}\), to wielomian ten będzie posiadał przynajmniej jeden pierwiastek niecałkowity. Pomijam tu wielokrotności wielomianów o pierwiastkach całkowitych, np.

Podkreślone nie jest prawdziwe i stąd przykład jaki dostałeś.

Kombinujesz w zasadzie dobrze.
Poczytaj tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu.

Warden23 pisze: 30 gru 2021, o 11:05 Wielomian \(\displaystyle{ 2x ^{2} + x + 1 }\) ma pierwiastki zespolone, więc nie są całkowite.

Nie napisałeś, wielomiany jakiej zmiennej rozważasz. Domyślnie są to wielomiany zmiennej rzeczywistej.

JK

Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wszystkie zespolone pierwiastki całkowite oraz współczynniki są względnie pierwsze, to współczynnik przy najwyższej potędze wynosi \(\displaystyle{ \pm 1}\).
To daje pozytywną odpowiedź na pytanie autora wątku, jeśli tak rozumieć regułę, według której pomijamy "wielokrotności" wielomianów.