Witam,
Ostatnio zauważyłem pewną zależność przy obliczaniu pierwiastków wielomianu, ale nie wiem czy to prawda. Mianowicie, jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) taki, że współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od \(\displaystyle{ 1}\), to wielomian ten będzie posiadał przynajmniej jeden pierwiastek niecałkowity. Pomijam tu wielokrotności wielomianów o pierwiastkach całkowitych, np.
\(\displaystyle{ W(x) = x^2 + 2x + 1}\) oraz \(\displaystyle{ P(x) = 4x^2 + 8x + 4}\) mają pierwiastek \(\displaystyle{ -1}\), ale \(\displaystyle{ P(x) = 4W(x)}\), dlatego \(\displaystyle{ P(x)}\) nie biorę pod uwagę.
Z kolei dla np. \(\displaystyle{ W(x) = 2x^2 + 6x - 3}\) zakładam istnienie pierwiastka niecałkowitego, ponieważ współczynnika przy najwyższej potędze nie wyłączę przed nawias w zwyczajny sposób.
Czy taka zależność lub jej podobna jest prawdziwa?
Niecałkowite pierwiastki wielomianu
Niecałkowite pierwiastki wielomianu
Ostatnio zmieniony 30 gru 2021, o 02:04 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
Powód: Brak LaTeXa - proszę zapoznać się z instrukcją: https://matematyka.pl/latex.htm.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu
A co powiesz o wielomianie \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(2x^2+x+1)=2x^3-x^2-1}\) ?
JK
JK
Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu
Wielomian \(\displaystyle{ 2x ^{2} + x + 1 }\) ma pierwiastki zespolone, więc nie są całkowite.
-
- Użytkownik
- Posty: 23498
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3265 razy
Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu
Podkreślone nie jest prawdziwe i stąd przykład jaki dostałeś.Warden23 pisze: ↑30 gru 2021, o 00:52 Ostatnio zauważyłem pewną zależność przy obliczaniu pierwiastków wielomianu, ale nie wiem czy to prawda. Mianowicie, jeśli mamy wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) taki, że współczynnik przy najwyższej potędze jest różny od \(\displaystyle{ 1}\), to wielomian ten będzie posiadał przynajmniej jeden pierwiastek niecałkowity. Pomijam tu wielokrotności wielomianów o pierwiastkach całkowitych, np.
Kombinujesz w zasadzie dobrze.
Poczytaj tw. o pierwiastku wymiernym wielomianu.
-
- Administrator
- Posty: 34539
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 5226 razy
Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu
Nie napisałeś, wielomiany jakiej zmiennej rozważasz. Domyślnie są to wielomiany zmiennej rzeczywistej.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 2285
- Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Sosnowiec
- Podziękował: 88 razy
- Pomógł: 351 razy
Re: Niecałkowite pierwiastki wielomianu
Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma wszystkie zespolone pierwiastki całkowite oraz współczynniki są względnie pierwsze, to współczynnik przy najwyższej potędze wynosi \(\displaystyle{ \pm 1}\).
To daje pozytywną odpowiedź na pytanie autora wątku, jeśli tak rozumieć regułę, według której pomijamy "wielokrotności" wielomianów.
szkic dowodu: