Matematyka.pl

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{m\in R} m\leqslant\frac{m^{2}+1}{2}}\)
Jeżeli jest to możliwe proszę o udowodnienie tego twierdzenie metodą nie-wprost (bo taka była na lekcji w odniesieniu do liczb niewymiernych).

Na pewno ten temat nie powinien być w indukcji, bo jak chciałbyś użyć indukcji skoro \(\displaystyle{ m\inR}\)?
Anyway można to zrobić tak:
Sprawdźmy dla m=0, nierówność zachodzi
Dla pozostałych przypadków:
\(\displaystyle{ m^{2}>0}\)
Czyli możemy sobie zrobić nierówność pomiędzy śr. aryt.-geo.:
\(\displaystyle{ \frac{m^{2}+1}{2}\geq \sqrt{m^{2}*1}=m}\) czego należało dowieść

Metoda nie wprost czyli w tym przypadku utrudnianie zrozumienia

Zalozmy ze ta nierownosc nie zachodzi czyli dla jakiegos m
\(\displaystyle{ 2m>m^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ 0>m^{2}-2m+1}\)
\(\displaystyle{ 0>(m-1)^{2}}\) skad sprzecznosc , czyli nierownosc musi zachodzic dla wszystkich m

polskimisiek, \(\displaystyle{ \sqrt{m^2}=|m|}\)

OK, ale ja zawężyłem sobie rozważania do liczb dodatnich, bo dla \(\displaystyle{ m}\)