Wykaż, że...

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
buahaha
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 146
Rejestracja: 14 paź 2007, o 16:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Dzierżoniów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 7 razy

Wykaż, że...

Post autor: buahaha » 18 paź 2007, o 20:53

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{m\in R} m\leqslant\frac{m^{2}+1}{2}}\)
Jeżeli jest to możliwe proszę o udowodnienie tego twierdzenie metodą nie-wprost (bo taka była na lekcji w odniesieniu do liczb niewymiernych).
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Wykaż, że...

Post autor: Piotr Rutkowski » 18 paź 2007, o 21:36

Na pewno ten temat nie powinien być w indukcji, bo jak chciałbyś użyć indukcji skoro \(\displaystyle{ m\inR}\)?
Anyway można to zrobić tak:
Sprawdźmy dla m=0, nierówność zachodzi
Dla pozostałych przypadków:
\(\displaystyle{ m^{2}>0}\)
Czyli możemy sobie zrobić nierówność pomiędzy śr. aryt.-geo.:
\(\displaystyle{ \frac{m^{2}+1}{2}\geq \sqrt{m^{2}*1}=m}\) czego należało dowieść

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Wykaż, że...

Post autor: micholak » 18 paź 2007, o 21:48

Metoda nie wprost czyli w tym przypadku utrudnianie zrozumienia :)

Zalozmy ze ta nierownosc nie zachodzi czyli dla jakiegos m
\(\displaystyle{ 2m>m^{2}+1}\)
\(\displaystyle{ 0>m^{2}-2m+1}\)
\(\displaystyle{ 0>(m-1)^{2}}\) skad sprzecznosc , czyli nierownosc musi zachodzic dla wszystkich m

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Wykaż, że...

Post autor: setch » 24 paź 2007, o 22:14

polskimisiek, \(\displaystyle{ \sqrt{m^2}=|m|}\)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Wykaż, że...

Post autor: Piotr Rutkowski » 24 paź 2007, o 22:17

OK, ale ja zawężyłem sobie rozważania do liczb dodatnich, bo dla \(\displaystyle{ m}\)

ODPOWIEDZ