Matematyka.pl

Chodzi o sposób rozwiązania równania

\(\displaystyle{ (x-1)(x-2)(x-4)(x-8)=7x^2}\)

Niby zna się narzędzia, ale zastosowanie jest niecodzienne. Powiem tak: też miałem pomysł, żeby wymnożyć po dwa nawiasy. Ale które... tego już nie dokończyłem.

To wygląda na przykład wymyślony pod tę metodę.

Inny podobny, nie oznacza, że trudny :

\(\displaystyle{ (1 - 2x)(x-1)=x^2 (x+1)}\) .

piasek101 pisze: ↑8 lut 2021, o 20:39 To wygląda na przykład wymyślony pod tę metodę.

Inny podobny, nie oznacza, że trudny :

\(\displaystyle{ (1 - 2x)(x-1)=x^2 (x+1)}\) .

Co nie oznacza, że nie warto go znać...

Mam dla Was niewinnie wyglądające równanko:

\(\displaystyle{ 2(x^2+2)= \sqrt{ x^3+1}}\)

Jeśli ktoś z Was - jak ja - wymięknie przy próbie rozwiązania, może zajrzeć tu:

Dilectus pisze: ↑13 kwie 2021, o 23:15 \(\displaystyle{ 2(x^2+2)= \sqrt{ x^3+1}}\)

O czymś chyba zapomniałeś...

JK

Rzeczywiście, dziękuję.
Oto poprawna wersja:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ 2(x^2+2)= 5\sqrt{ x^3+1}}}\)

Włączyłem tylko początek i tam jest tak:
\(\displaystyle{ 2\left(x^{2}+2\right)=5\sqrt{x^{3}+1}}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ x\ge -1}\), a dalej, jako że nie lubię pierwiastków, podnoszę stronami do kwadratu i mam:
\(\displaystyle{ 4\left(x^{2}+2\right)^{2}=25\left(x^{3}+1\right)\\4\left(x^{2}+2\right)^{2}=25(x+1)\left(x^{2}+2-(x+1)\right)}\)
Jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ a=x^{2}+2, \ b=x+1}\), to dostajemy równanie
\(\displaystyle{ 4a^{2}=25b(a-b)\\\left(2a-\frac{25}{4}b\right)^{2}-\frac{225}{16}b^{2}=0\\\left(2a-\frac{25}{4}b-\frac{15}{4}b\right)\left(2a-\frac{25}{4}b+\frac{15}{4}b\right)=0}\)
Stąd dostajemy dwa równania kwadratowe do rozwiązania, a mianowicie
\(\displaystyle{ 2\left(x^{2}+2\right)=10(x+1), \ 2\left(x^{2}+2\right)=\frac{5}{2}(x+1)}\),
których rozwiązanie nie powinno nastręczyć żadnych trudności. Na koniec (jeśli zajdzie taka potrzeba, bo nie chciało mi się tego liczyć – równania kwadratowe każdy umie rozwiązywać) eliminujemy te rozwiązania, które nie spełniają warunku \(\displaystyle{ x\ge -1}\).

Jakoś inaczej to robił? NB całkiem fajny kanał (widziałem któryś poprzedni tu wrzucony filmik i zainspirowało mnie to do rozwiązania jednego z zadań w ostatnim miksie mola) plus uwielbiam melodyjność języka rosyjskiego, nieironicznie najlepszy język obok gaelickiego.

Premislav pisze: ↑14 kwie 2021, o 00:50 Jeśli teraz położymy \(\displaystyle{ a=x^{2}+2, \ b=x+1}\).

I na to nie wpadłem. O ile podstawienie \(\displaystyle{ a=x^{2}+2}\).jest oczywiste, otyle wymyślenie podstawienia \(\displaystyle{ \ b=x+1}\) przekroczyło moje siły, więc wymnożyłem wszystko i zacząłem się zmagać z wielomianem czwartego stopnia, i poległem...

A ja obejrzałem. Zrobił to inaczej, się też sprytnie

Bhaskaraćarja (sanskryt भास्कराचार्य, trl. Bhāskarācārya, czyli Bhāskara nauczyciel, Bhāskara II), (1114–1185) – matematyk i astronom indyjski - zaproponował takie oto równanie:

\(\displaystyle{ x^4-2x^2-400x=9999}\)

Spróbujcie je rozwiązać. Ja wymiękłem, a jeśli ktoś z Was też wymięknie, to rozwiązanie znajdzie tu:

Mam dla Was ohydnie wyglądającą nierówność, która pojawiła się w Rosji na egzaminie wstępnym

\(\displaystyle{ \log_{0,5} \frac{4^{\left| x\right| +1}-4\cdot 2^{\left| x\right| +1}+5}{(2^{ \sqrt{x}+3} -2)^2+1}+ \frac{1}{2\cdot 2^{\left| x\right| }-1} >(8\cdot 2^ \sqrt{x}-1)^{-1} }\)

Szczerze mówiąc, jak ją zobaczyłem, to ręce mi opadły i wymiękłem już w trakcie jej czytania. Może wśród Was znajdzie się śmiałek, który jej podoła?

Ciekawe, co by było, gdyby w Polsce na egzaminach wstępnych były takie zadania...

Rozwiązać równanie

\(\displaystyle{ (x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680}\)

Kto wymięknie (jak ja), może zajrzeć tu: