Matematyka.pl

Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej rozwiązania (niekonieczne jest ich wyliczenie) równania:
\(\displaystyle{ z^{8} - (2+i)^{16} =0}\).

totalnie nie wiem jak się za to zabrać. Słyszałam, że żeby rozwiązać tego typu równania wystarczy wyznaczyć tylko jedno rozwiązanie, a potem narysować koło na płaszczyźnie zespolonej, nanieść to jedno rozwiązanie i później symetrycznie pozostałem siedem. Tyle, ze ja nawet się nie orientuje jak to jedno wyliczyć

Podobny problem mam z tym zadaniem:
Zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej liczby spełniające warunek:
\(\displaystyle{ 1 \le \left| i\overline{z} - 3 + i\right|<3 }\)
Tutaj się domyślam, że chodzi o równania okręgów

Nixolla19 pisze: ↑4 lut 2021, o 15:30 \(\displaystyle{ z^{8} - (2+i)^{16} =0}\)
...
Tyle, ze ja nawet się nie orientuje jak to jedno wyliczyć

Nie potrafisz zgadnąć liczby zespolonej, która podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ (2+i)^{16}}\) ?

To może zacznijmy od prostszego przykładu: jaka liczba podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ 2^{16}}\) ?

JK

Doprowadź to \(\displaystyle{ 1 \le \left| i\overline{z} - 3 + i\right|<3}\) do postaci \(\displaystyle{ a \le \left| z-z_0\right| <b}\). A to uczynisz zauważając, że \(\displaystyle{ \left|\overline{w} \right|=\left| w\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left| sp\right|=\left| s\right|\left| p\right| }\).

Dasio11 pisze: ↑4 lut 2021, o 15:54

Nixolla19 pisze: ↑4 lut 2021, o 15:30 \(\displaystyle{ z^{8} - (2+i)^{16} =0}\)
...
Tyle, ze ja nawet się nie orientuje jak to jedno wyliczyć

Nie potrafisz zgadnąć liczby zespolonej, która podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ (2+i)^{16}}\) ?

Gdybym potrafiła, to chyba logiczne, że nie pytałabym na forum. Nie każdy musi być geniuszem i nie dla każdego to musi być takie oczywiste

Dodano po 1 minucie 23 sekundach:

Jan Kraszewski pisze: ↑4 lut 2021, o 16:19 To może zacznijmy od prostszego przykładu: jaka liczba podniesiona do potęgi ósmej da \(\displaystyle{ 2^{16}}\) ?

JK

To na szczęście rozumiem 4

Nixolla19 pisze: ↑6 lut 2021, o 11:55To na szczęście rozumiem 4

A ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ 2^2}\). A teraz popatrz:

\(\displaystyle{ 2^{16}=\left( 2^2\right)^8 }\)

\(\displaystyle{ (2+i)^{16}=\left( ??\right)^8 }\)

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑6 lut 2021, o 12:13

Nixolla19 pisze: ↑6 lut 2021, o 11:55To na szczęście rozumiem 4

A ja bym powiedział, że \(\displaystyle{ 2^2}\). A teraz popatrz:

\(\displaystyle{ 2^{16}=\left( 2^2\right)^8 }\)

\(\displaystyle{ (2+i)^{16}=\left( ??\right)^8 }\)

JK

\(\displaystyle{ ((2+i) ^{2}) ^{8} }\)
\(\displaystyle{ (3+4i) ^{8} }\)

Czyli po prostu jednym z rozwiązań będzie \(\displaystyle{ 3+4i}\) ?

Nixolla19 pisze: ↑6 lut 2021, o 12:41Czyli po prostu jednym z rozwiązań będzie \(\displaystyle{ 3+4i}\) ?

Tak.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑6 lut 2021, o 13:01 Tak.

Dziękuję bardzo w takim razie, wszystko już jasne.

Janusz Tracz pisze: ↑4 lut 2021, o 16:42 Doprowadź to \(\displaystyle{ 1 \le \left| i\overline{z} - 3 + i\right|<3}\) do postaci \(\displaystyle{ a \le \left| z-z_0\right| <b}\). A to uczynisz zauważając, że \(\displaystyle{ \left|\overline{w} \right|=\left| w\right| }\) oraz \(\displaystyle{ \left| sp\right|=\left| s\right|\left| p\right| }\).

Też mam problem z tym zadaniem, ale nie bardzo rozumiem dalej jak to rozpisać mimo wskazówki