Matematyka.pl

1. Zbadaj monotoniczność i zbieżność ciągu

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2x-5}{3-4x}>1}\)

2. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{3}-\frac{1}{3}n}\) Zbadaj, czy jest on ciągiem arytmetycznym?

3. Dany jest skończony i uporządkowany zbiór kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny. Pole powierzchni pierwszego z nich jest równe \(\displaystyle{ 12 cm^{2}}\) a piątego \(\displaystyle{ 30 cm^{2}}\). Ile jest kwadratów, jeśli suma ich pól równa się polu kwadratu o boku 21 cm.

4. Dana jest funkcja

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x-1} + \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}} + \frac{x^{3}}{(x-1)^{3}} +...}\)
gdzie prawa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego. Znajdź dziedzinę tej funkcji.

Szczerze mówiąc nie wiem nawet jakiego poziomu są te zadania, ale wydaje mi sie że powinny być łatwe, bo robie powtórke z książki, w której są raczej w miare proste, ale ciągi jakos całkiem wyleciały mi z głowy. Bede bardzo wdzięczna za pomoc.

2.
Dla każdeno n różnica
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\left(\sqrt3-\frac13(n+1)\right)-\left(\sqrt3-\frac13n\right)=-\frac13}\) nie zależy od n, a więc nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym (o różnicy -1/3).

dziekuje =] a jakies inne ktos potrafi?

Podbijam pytanie o 4.

4. \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\)
No i mianownik różny od zera

-- 26 gru 2013, o 10:13 --

1. Policzyć różnicę, \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\) jeśli będzie dodatnia to ciąg jest monotoniczny rosnacy, ujemna - monotoniczny malejący.
Zbieżność to chyba \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1}\)

-- 26 gru 2013, o 10:48 --

3. Obliczyć \(\displaystyle{ r}\) ze wzoru na \(\displaystyle{ a_n}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ n}\) ze wzoru na \(\displaystyle{ S_n}\)
Kwadratów jest \(\displaystyle{ 12}\).

Kocurka pisze: 3. Dany jest skończony i uporządkowany zbiór kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny. Pole powierzchni pierwszego z nich jest równe \(\displaystyle{ 12 cm^{2}}\) a piątego \(\displaystyle{ 30 cm^{2}}\). Ile jest kwadratów, jeśli suma ich pól równa się polu kwadratu o boku 21 cm.

Mamy:
\(\displaystyle{ a_1=12}\), \(\displaystyle{ a_5=30}\)
Wyznaczamy więc różnicę tego ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ a_5=a_1+4r \Rightarrow r=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{9}{2}}\)
Suma tego ciągu (skończonego) jest równa: \(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n}\) i jest też równa polu kwadratu o boku \(\displaystyle{ 21}\), czyli \(\displaystyle{ S_n=21^2=441}\).
Zatem zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \frac{2a_1+(n-1)r}{2}n=441}\).
Wyznaczając z powyższego równania \(\displaystyle{ n}\) i dodatkowo mając, że \(\displaystyle{ n\in \NN}\), czyli dostajemy:
\(\displaystyle{ rn^2+(2a_1r)n-882=0 \wedge n\in\NN}\).
Rozwiązaniem ze względu na \(\displaystyle{ n}\) są: \(\displaystyle{ n=12 \vee n=-\frac{49}{3}}\).
Biorąc pod uwagę, że \(\displaystyle{ n\in \NN}\) dostajemy ostateczną odpowiedź: \(\displaystyle{ n=12}\).
Zatem tych kwadratów jest \(\displaystyle{ 12}\).