kilka roznych zadan z ciagow

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Kocurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 4 lut 2007, o 00:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 130 razy

kilka roznych zadan z ciagow

Post autor: Kocurka » 16 paź 2007, o 21:53

1. Zbadaj monotoniczność i zbieżność ciągu

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{2x-5}{3-4x}>1}\)

2. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\sqrt{3}-\frac{1}{3}n}\) Zbadaj, czy jest on ciągiem arytmetycznym?

3. Dany jest skończony i uporządkowany zbiór kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny. Pole powierzchni pierwszego z nich jest równe \(\displaystyle{ 12 cm^{2}}\) a piątego \(\displaystyle{ 30 cm^{2}}\). Ile jest kwadratów, jeśli suma ich pól równa się polu kwadratu o boku 21 cm.

4. Dana jest funkcja

\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x-1} + \frac{x^{2}}{(x-1)^{2}} + \frac{x^{3}}{(x-1)^{3}} +...}}\)
gdzie prawa strona jest sumą wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego zbieżnego. Znajdź dziedzinę tej funkcji.

Szczerze mówiąc nie wiem nawet jakiego poziomu są te zadania, ale wydaje mi sie że powinny być łatwe, bo robie powtórke z książki, w której są raczej w miare proste, ale ciągi jakos całkiem wyleciały mi z głowy. Bede bardzo wdzięczna za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

kilka roznych zadan z ciagow

Post autor: andkom » 16 paź 2007, o 22:08

2.
Dla każdeno n różnica
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\left(\sqrt3-\frac13(n+1)\right)-\left(\sqrt3-\frac13n\right)=-\frac13}\) nie zależy od n, a więc nasz ciąg jest ciągiem arytmetycznym (o różnicy -1/3).

Kocurka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 178
Rejestracja: 4 lut 2007, o 00:57
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów
Podziękował: 130 razy

kilka roznych zadan z ciagow

Post autor: Kocurka » 16 paź 2007, o 22:22

dziekuje =] a jakies inne ktos potrafi?

dominikas14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 1 sty 2011, o 11:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Sosnowiec

kilka roznych zadan z ciagow

Post autor: dominikas14 » 26 gru 2013, o 09:00

Podbijam pytanie o 4.

Ania221
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1923
Rejestracja: 30 lis 2013, o 13:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 326 razy

kilka roznych zadan z ciagow

Post autor: Ania221 » 26 gru 2013, o 10:07

4. \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\)
No i mianownik różny od zera

-- 26 gru 2013, o 10:13 --

1. Policzyć różnicę, \(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n}\) jeśli będzie dodatnia to ciąg jest monotoniczny rosnacy, ujemna - monotoniczny malejący.
Zbieżność to chyba \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| <1}\)

-- 26 gru 2013, o 10:48 --

3. Obliczyć \(\displaystyle{ r}\) ze wzoru na \(\displaystyle{ a_n}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ n}\) ze wzoru na \(\displaystyle{ S_n}\)
Kwadratów jest \(\displaystyle{ 12}\).

Awatar użytkownika
rtuszyns
Korepetytor
Korepetytor
Posty: 2042
Rejestracja: 29 gru 2006, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zamość
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 229 razy

kilka roznych zadan z ciagow

Post autor: rtuszyns » 26 gru 2013, o 11:08

Kocurka pisze: 3. Dany jest skończony i uporządkowany zbiór kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny. Pole powierzchni pierwszego z nich jest równe \(\displaystyle{ 12 cm^{2}}\) a piątego \(\displaystyle{ 30 cm^{2}}\). Ile jest kwadratów, jeśli suma ich pól równa się polu kwadratu o boku 21 cm.
Mamy:
\(\displaystyle{ a_1=12}\), \(\displaystyle{ a_5=30}\)
Wyznaczamy więc różnicę tego ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ a_5=a_1+4r \Rightarrow r=\frac{a_5-a_1}{4}=\frac{9}{2}}\)
Suma tego ciągu (skończonego) jest równa: \(\displaystyle{ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}n=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n}\) i jest też równa polu kwadratu o boku \(\displaystyle{ 21}\), czyli \(\displaystyle{ S_n=21^2=441}\).
Zatem zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \frac{2a_1+(n-1)r}{2}n=441}\).
Wyznaczając z powyższego równania \(\displaystyle{ n}\) i dodatkowo mając, że \(\displaystyle{ n\in \NN}\), czyli dostajemy:
\(\displaystyle{ rn^2+(2a_1r)n-882=0 \wedge n\in\NN}\).
Rozwiązaniem ze względu na \(\displaystyle{ n}\) są: \(\displaystyle{ n=12 \vee n=-\frac{49}{3}}\).
Biorąc pod uwagę, że \(\displaystyle{ n\in \NN}\) dostajemy ostateczną odpowiedź: \(\displaystyle{ n=12}\).
Zatem tych kwadratów jest \(\displaystyle{ 12}\).

ODPOWIEDZ