Matematyka.pl

Uzasadnić, że złożenie funkcji:
a) rosnących jest funkcją rosnącą;
b) rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą;
c) malejących jest funkcją rosnącą.

a)Niech \(\displaystyle{ f(x),g(x)}\) - funkcje rosnace

Zatem:
\(\displaystyle{ \forall\ x \ f'(x)>0 \quad \wedge \quad g'(x)>0}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=f(g(x))=h(x)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)>0 \iff h(x)}\)- jest rosnaca

Analogicznie pozostale przyklady..

zeby byc monotonicznym nie trzeba byc rozniczkowalnym.

Niech:
\(\displaystyle{ \forall x_1,x_2 \quad x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}\) (*)
\(\displaystyle{ \forall y_1,y_2 \quad y_1>y_2 \Rightarrow g(y_1)>g(y_2)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=f(g(x))}\)
Jezeli \(\displaystyle{ g(y_1)>g(y_2)}\) to na mocy (*) \(\displaystyle{ f(g(y_1))>f(g(y_2))}\)

a)
a>b
f rosnąca, więc f(a)>f(b), bo a>b
g rosnąca, więc g(f(a))>g(f(b)), bo f(a)>f(b)
czyli złożenie tych funkcji jest funkcją rosnącą

b)
a>b
f malejąca, więc f(b)>f(a), bo bg(f(a)), bo f(a)>f(b)
czyli złożenie tych funkcji jest funkcją malejącą
(podobnie gdy f rosnąca i g malejąca)

c)
a>b
f malejąca, więc f(b)>f(a), bo bg(f(b)), bo f(a)

czy mogłby ktos jeszcze raz wytłumaczyć przyklad b i c?
Krok po kroku?
nie rozumiem w c tego zmiany znaku

344277.htm

JK