Uzasadnić, że złożenie funkcji:
a) rosnących jest funkcją rosnącą;
b) rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą;
c) malejących jest funkcją rosnącą.
Uzasadnić że złożenie funkcji rosnących jest funkcją r
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Uzasadnić że złożenie funkcji rosnących jest funkcją r
a)Niech \(\displaystyle{ f(x),g(x)}\) - funkcje rosnace
Zatem:
\(\displaystyle{ \forall\ x \ f'(x)>0 \quad \wedge \quad g'(x)>0}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=f(g(x))=h(x)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)>0 \iff h(x)}\)- jest rosnaca
Analogicznie pozostale przyklady..
Zatem:
\(\displaystyle{ \forall\ x \ f'(x)>0 \quad \wedge \quad g'(x)>0}\)
Ponadto:
\(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=f(g(x))=h(x)}\)
Stad:
\(\displaystyle{ h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x)>0 \iff h(x)}\)- jest rosnaca
Analogicznie pozostale przyklady..
- g
- Użytkownik
- Posty: 1552
- Rejestracja: 21 sie 2004, o 16:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 59 razy
Uzasadnić że złożenie funkcji rosnących jest funkcją r
zeby byc monotonicznym nie trzeba byc rozniczkowalnym.
- kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
Uzasadnić że złożenie funkcji rosnących jest funkcją r
Niech:
\(\displaystyle{ \forall x_1,x_2 \quad x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}\) (*)
\(\displaystyle{ \forall y_1,y_2 \quad y_1>y_2 \Rightarrow g(y_1)>g(y_2)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=f(g(x))}\)
Jezeli \(\displaystyle{ g(y_1)>g(y_2)}\) to na mocy (*) \(\displaystyle{ f(g(y_1))>f(g(y_2))}\)
\(\displaystyle{ \forall x_1,x_2 \quad x_1>x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)}\) (*)
\(\displaystyle{ \forall y_1,y_2 \quad y_1>y_2 \Rightarrow g(y_1)>g(y_2)}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ (f\circ g)(x)=f(g(x))}\)
Jezeli \(\displaystyle{ g(y_1)>g(y_2)}\) to na mocy (*) \(\displaystyle{ f(g(y_1))>f(g(y_2))}\)
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Uzasadnić że złożenie funkcji rosnących jest funkcją r
a)
a>b
f rosnąca, więc f(a)>f(b), bo a>b
g rosnąca, więc g(f(a))>g(f(b)), bo f(a)>f(b)
czyli złożenie tych funkcji jest funkcją rosnącą
b)
a>b
f malejąca, więc f(b)>f(a), bo bg(f(a)), bo f(a)>f(b)
czyli złożenie tych funkcji jest funkcją malejącą
(podobnie gdy f rosnąca i g malejąca)
c)
a>b
f malejąca, więc f(b)>f(a), bo bg(f(b)), bo f(a)
a>b
f rosnąca, więc f(a)>f(b), bo a>b
g rosnąca, więc g(f(a))>g(f(b)), bo f(a)>f(b)
czyli złożenie tych funkcji jest funkcją rosnącą
b)
a>b
f malejąca, więc f(b)>f(a), bo bg(f(a)), bo f(a)>f(b)
czyli złożenie tych funkcji jest funkcją malejącą
(podobnie gdy f rosnąca i g malejąca)
c)
a>b
f malejąca, więc f(b)>f(a), bo bg(f(b)), bo f(a)
-
- Użytkownik
- Posty: 242
- Rejestracja: 29 sty 2011, o 16:06
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Stare Babki
- Podziękował: 60 razy
Uzasadnić że złożenie funkcji rosnących jest funkcją r
czy mogłby ktos jeszcze raz wytłumaczyć przyklad b i c?
Krok po kroku?
nie rozumiem w c tego zmiany znaku
Krok po kroku?
nie rozumiem w c tego zmiany znaku
-
- Administrator
- Posty: 34281
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy