Szereg z arcusem
: 9 lis 2020, o 19:17
Udowodnić, że \(\displaystyle{ 2 (\arcsin(x) )^2 = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n-1)! ^2}{(2n)! } (2x)^{2n} }\).
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1}\frac{\mbox{d}t}{1-x^{2}+x^{2}t^{2}}=\frac{\arcsin x}{x\sqrt{1-x^{2}}}}\)
Właściwie esencją jest dostrzeżenie nietrudnej w dowodzie, ale nie tak łatwej do wyciągnięcia z kapelusza, jeśli się nie wie, że warto to zrobić, tożsamości
\(\displaystyle{ \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right)=\arcsin x}\) dla odpowiednich \(\displaystyle{ x}\).
Jakieś inne pomysły
Kiedy próbowałem zwyczajnie skorzystać z iloczynu Cauchy'ego szeregów, to napotkałem problem zwinięcia sumy, która nie padła ugodzona żadnymi gammami, betami i innymi syfami… Oczywiście jak ma się wynik zadania, i ma się tę sumę z iloczynu Cauchy'ego, to pewnie można przepchnąć jakąś bardzo żmudną indukcję, ale przecież nie o to chodzi.