Matematyka.pl

Polecenie brzmi tak:
Wskaż działanie \(\displaystyle{ *}\) na zbiorze \(\displaystyle{ A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} }\) takie, że \(\displaystyle{ (A, *)}\) jest grupą nieprzemienną.
Szczerze powiedziawszy nie wiem, jak się za to zabrać. Gdzieś znalazłem, że można w jakiś sposób przenieść działanie z \(\displaystyle{ S_3}\) na ten zbiór numerując odpowiednie permutacje, ale nie bardzo wiem, jak to zrobić. Przecież najpierw musiałbym ponumerować permutacje, potem szybko skonstruować tabelkę dla \(\displaystyle{ S_3}\), a następnie "tłumacząc" sobie permutacje na liczby skonstruować tabelkę dla zadanego zbioru. Nie da się inaczej? Czy to w ogóle dobre rozumowanie?

Tak to dobry pomysł. Ponumeruj je jakkolwiek i będzie dobrze. Tyle że może się okazać, że elementem neutralnym w tej grupie będzie np. Trójka

To jest dobre podejście i chyba jedyne sensowne. Da się to też zapisać jednym wzorem, jeśli nie jest wymagana tabelka:

Gdy \(\displaystyle{ f:S(3)\rightarrow \{0,1,\ldots,5\}}\) jest bijekcją, to definiujemy

\(\displaystyle{ a*b:=f\left( f^{-1}(a)\circ f^{-1}(b)\right) }\)

Wiesz ze `S_3` to grupa izometrii trójkąta. Przypisz im numery i sprawdź jak się składają

To, jakim elementem będzie element neutralny nie ma znaczenia. Ogółem nie musi być tabelką, podoba mi się pomysł ze wzorem, sam kombinowałem, ale nie wiedziałem jak to ładnie ubrać.

a4karo pisze: 3 lis 2020, o 21:19 Wiesz ze `S_3` to grupa izometrii trójkąta. Przypisz im numery i sprawdź jak się składają

Hmm, jest to fajny pomysł, zdecydowanie ułatwi tworzenie tabelki