Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ T = H(\CC)}\) będzie algebrą kwaternionów Hamilton’a nad \(\displaystyle{ \CC}\), tzn. \(\displaystyle{ T}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \CC}\) z bazą \(\displaystyle{ 1, i,j, k}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\) i mnożeniem danym przez mnożenie w \(\displaystyle{ \CC}\) i standardowe mnożenie kwaternionów \(\displaystyle{ i,j, k}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ T}\) jest izomorficzne z
\(\displaystyle{ \CC}\) algebrą \(\displaystyle{ M_2(\CC)}\).

Może mi ktoś wytłumaczyć co się tutaj dzieje i powiedzieć jak to zrobić?

Kwaterniony standardowo możemy rozumieć jako macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). W szczególności kwaterniony jednostkowe \(\displaystyle{ 1,i,j,k}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\mathbb{C})}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Dlatego algebra kwaternionów \(\displaystyle{ H(\mathbb{C})}\) jest izomorficzna z algebrą \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\mathbb{C})}\) .

Ok, to jeszcze powiedz mi jaka macierz będzie odpowiadała kwaternionowi \(\displaystyle{ 5e+6i+7j+8k}\)? A możesz wskazać ten izomorfizm między tymi algebrami, żebym zobaczył jak to wygląda?

Zajrzałeś gdziekolwiek (np do Wiki)?

No dobra, zajrzałem. Według Wiki \(\displaystyle{ ae+bi+cj+dk=a \left[ \begin{array}\\ 1&&0 \\ 0&&1 \end{array}\right]+b \left[ \begin{array}\\ i&&0 \\ 0&&-i \end{array}\right]+c\left[ \begin{array}\\ 0&&1 \\ -1&&0 \end{array}\right]+d\left[ \begin{array}\\ 0&&i \\ i&&0 \end{array}\right] }\). No dobra, czyli \(\displaystyle{ 5e+6i+7j+8k=\left[ \begin{array}\\ 5+6i&&7+8i \\ -7+8i&&5-6i \end{array}\right]}\). Ok to teraz wiem, jak się kwaterniony zamienia na macierze. No, ok, ale to w takim razie nie rozumiem dlaczego kwaterniony \(\displaystyle{ 1,i,j,k}\) tworzą bazę przestrzeni macierzy wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\). Żeby tworzyły bazę to z kombinacji liniowej tych czterech kwaternionów jednostkowych powinno się móc dostać dowolną macierz wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\), a jak dostać macierz np. \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}\\ 1&&2 \\ 3&&4 \end{array}\right]}\)?

Sam sobie policz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}=a \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}+b \begin{bmatrix} i&0 \\ 0&-i \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 0&i \\ i&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+bi&c+di \\ -c+di&a-bi \end{bmatrix}}\)

Teraz porównujesz macierze i rozwiązujesz dwa układy równań w liczbach zespolonych.

JK

No faktycznie, to będzie: \(\displaystyle{ 2,5e+3/2i \cdot i-1/2j-5/2ik}\). No ok, to tą macierz faktycznie można uzyskać z tych kwaternionów jednostkowych, ale skąd wiadomo, że każdą macierz \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) w liczbach zespolonych z tego dostanę? Jakby to była macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\), to bym się zgodził, że każdą można uzyskać, ale z tej postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a+bi&c+di \\ -c+di&a-bi \end{bmatrix}}\), to nie jestem przekonany czy każdą macierz dostanę?

To sobie policz. Masz już praktykę

No dobra, nie odpowiedziałeś na moje pytanie, ale sam już chyba doszedłem dlaczego to tak jest. Wystarczy chyba wykazać, że w tej macierzy mogę dostać każdą liczbę w pozycji \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (2,2)}\), bo one są zależne od tych samych parametrów, dla tej drugiej pary pewnie jest analogicznie. Czyli jeśli dobrze myślę to się sprowadzi do sprawdzenia czy dla każdego \(\displaystyle{ c,d \in \RR}\) istnieją \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\), że układ \(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=c \\ a-b=d \end{cases} }\), ma dokładnie jedno rozwiązanie i to chyba wynika z tego, że wyznacznik główny tego układu jest różny od zera, bo jest równy \(\displaystyle{ -2}\). Dobrze myślę?

tak

No ok, niby wszystko jasne, ale jak będzie wyglądał ten izomorfizm między algebrą kwaternionów, a algebrą \(\displaystyle{ M_2(\CC)}\)? Jak to zapisać?

krl pisze: 1 lis 2020, o 09:56Kwaterniony standardowo możemy rozumieć jako macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). W szczególności kwaterniony jednostkowe \(\displaystyle{ 1,i,j,k}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\mathbb{C})}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

Tu masz opisany ten izomorfizm jako przekształcenie bazy na bazę.

JK

Aha czyli ten izomorfizm jest dany przez przyporządkowanie \(\displaystyle{ 1 \rightarrow \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ i \rightarrow \begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ j \rightarrow \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ k \rightarrow \begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\), zgadza się? No dobra, ale czy to nam wystarcza? W sensie, że jak bazę jednej przestrzeni możemy przekształcić na bazę drugiej przestrzeni, to te przestrzenie są izomorficzne? Chyba coś takiego było na GALu, ale nie pamiętam dokładnie. Jest jakieś twierdzenie mówiące o tym? Jak możesz to przypomnij mi.

max123321 pisze: 4 lis 2020, o 23:59 W sensie, że jak bazę jednej przestrzeni możemy przekształcić na bazę drugiej przestrzeni, to te przestrzenie są izomorficzne? Chyba coś takiego było na GALu, ale nie pamiętam dokładnie. Jest jakieś twierdzenie mówiące o tym? Jak możesz to przypomnij mi.

To już lenistwo

Oj już mógłbyś powiedzieć bo ja nie wiem gdzie tego szukać. Znalazłem, że jest twierdzenie, że jeśli dwie przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar to są izomorficzne, więc tu chyba można z tego skorzystać bo obie przestrzenie mają wymiar \(\displaystyle{ 4}\), zgadza się? A co można powiedzieć o tym przekształcaniu bazy na bazę i izomorfizmie?