Algebra kwaternionów Hamiltona

[max123321]

Niech \(\displaystyle{ T = H(\CC)}\) będzie algebrą kwaternionów Hamilton’a nad \(\displaystyle{ \CC}\), tzn. \(\displaystyle{ T}\) jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \CC}\) z bazą \(\displaystyle{ 1, i,j, k}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\) i mnożeniem danym przez mnożenie w \(\displaystyle{ \CC}\) i standardowe mnożenie kwaternionów \(\displaystyle{ i,j, k}\). Uzasadnij, że \(\displaystyle{ T}\) jest izomorficzne z
\(\displaystyle{ \CC}\) algebrą \(\displaystyle{ M_2(\CC)}\).

Może mi ktoś wytłumaczyć co się tutaj dzieje i powiedzieć jak to zrobić?

[krl]

Kwaterniony standardowo możemy rozumieć jako macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). W szczególności kwaterniony jednostkowe \(\displaystyle{ 1,i,j,k}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\mathbb{C})}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). Dlatego algebra kwaternionów \(\displaystyle{ H(\mathbb{C})}\) jest izomorficzna z algebrą \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\mathbb{C})}\) .

[max123321]

Ok, to jeszcze powiedz mi jaka macierz będzie odpowiadała kwaternionowi \(\displaystyle{ 5e+6i+7j+8k}\)? A możesz wskazać ten izomorfizm między tymi algebrami, żebym zobaczył jak to wygląda?

[a4karo]

Zajrzałeś gdziekolwiek (np do Wiki)?

[max123321]

No dobra, zajrzałem. Według Wiki \(\displaystyle{ ae+bi+cj+dk=a \left[ \begin{array}\\ 1&&0 \\ 0&&1 \end{array}\right]+b \left[ \begin{array}\\ i&&0 \\ 0&&-i \end{array}\right]+c\left[ \begin{array}\\ 0&&1 \\ -1&&0 \end{array}\right]+d\left[ \begin{array}\\ 0&&i \\ i&&0 \end{array}\right] }\). No dobra, czyli \(\displaystyle{ 5e+6i+7j+8k=\left[ \begin{array}\\ 5+6i&&7+8i \\ -7+8i&&5-6i \end{array}\right]}\). Ok to teraz wiem, jak się kwaterniony zamienia na macierze. No, ok, ale to w takim razie nie rozumiem dlaczego kwaterniony \(\displaystyle{ 1,i,j,k}\) tworzą bazę przestrzeni macierzy wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\). Żeby tworzyły bazę to z kombinacji liniowej tych czterech kwaternionów jednostkowych powinno się móc dostać dowolną macierz wymiaru \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) nad \(\displaystyle{ \CC}\), a jak dostać macierz np. \(\displaystyle{ \left[ \begin{array}\\ 1&&2 \\ 3&&4 \end{array}\right]}\)?

[Jan Kraszewski]

Sam sobie policz:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2\\ 3&4 \end{bmatrix}=a \begin{bmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{bmatrix}+b \begin{bmatrix} i&0 \\ 0&-i \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix} 0&1 \\ -1&0 \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 0&i \\ i&0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a+bi&c+di \\ -c+di&a-bi \end{bmatrix}}\)

Teraz porównujesz macierze i rozwiązujesz dwa układy równań w liczbach zespolonych.

JK

[max123321]

No faktycznie, to będzie: \(\displaystyle{ 2,5e+3/2i \cdot i-1/2j-5/2ik}\). No ok, to tą macierz faktycznie można uzyskać z tych kwaternionów jednostkowych, ale skąd wiadomo, że każdą macierz \(\displaystyle{ 2 \times 2}\) w liczbach zespolonych z tego dostanę? Jakby to była macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}}\), to bym się zgodził, że każdą można uzyskać, ale z tej postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a+bi&c+di \\ -c+di&a-bi \end{bmatrix}}\), to nie jestem przekonany czy każdą macierz dostanę?

[a4karo]

To sobie policz. Masz już praktykę

[max123321]

No dobra, nie odpowiedziałeś na moje pytanie, ale sam już chyba doszedłem dlaczego to tak jest. Wystarczy chyba wykazać, że w tej macierzy mogę dostać każdą liczbę w pozycji \(\displaystyle{ (1,1)}\) i \(\displaystyle{ (2,2)}\), bo one są zależne od tych samych parametrów, dla tej drugiej pary pewnie jest analogicznie. Czyli jeśli dobrze myślę to się sprowadzi do sprawdzenia czy dla każdego \(\displaystyle{ c,d \in \RR}\) istnieją \(\displaystyle{ a,b \in \RR}\), że układ \(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=c \\ a-b=d \end{cases} }\), ma dokładnie jedno rozwiązanie i to chyba wynika z tego, że wyznacznik główny tego układu jest różny od zera, bo jest równy \(\displaystyle{ -2}\). Dobrze myślę?

[a4karo]

tak

[max123321]

No ok, niby wszystko jasne, ale jak będzie wyglądał ten izomorfizm między algebrą kwaternionów, a algebrą \(\displaystyle{ M_2(\CC)}\)? Jak to zapisać?

[Jan Kraszewski]

Kwaterniony standardowo możemy rozumieć jako macierze \(\displaystyle{ 2\times 2}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\). W szczególności kwaterniony jednostkowe \(\displaystyle{ 1,i,j,k}\) tworzą bazę \(\displaystyle{ M_{2\times 2}(\mathbb{C})}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\).

Tu masz opisany ten izomorfizm jako przekształcenie bazy na bazę.

JK

[max123321]

Aha czyli ten izomorfizm jest dany przez przyporządkowanie \(\displaystyle{ 1 \rightarrow \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ i \rightarrow \begin{bmatrix}i&0\\0&-i\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ j \rightarrow \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\),\(\displaystyle{ k \rightarrow \begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\), zgadza się? No dobra, ale czy to nam wystarcza? W sensie, że jak bazę jednej przestrzeni możemy przekształcić na bazę drugiej przestrzeni, to te przestrzenie są izomorficzne? Chyba coś takiego było na GALu, ale nie pamiętam dokładnie. Jest jakieś twierdzenie mówiące o tym? Jak możesz to przypomnij mi.

[a4karo]

W sensie, że jak bazę jednej przestrzeni możemy przekształcić na bazę drugiej przestrzeni, to te przestrzenie są izomorficzne? Chyba coś takiego było na GALu, ale nie pamiętam dokładnie. Jest jakieś twierdzenie mówiące o tym? Jak możesz to przypomnij mi.

To już lenistwo

[max123321]

Oj już mógłbyś powiedzieć bo ja nie wiem gdzie tego szukać. Znalazłem, że jest twierdzenie, że jeśli dwie przestrzenie liniowe mają ten sam wymiar to są izomorficzne, więc tu chyba można z tego skorzystać bo obie przestrzenie mają wymiar \(\displaystyle{ 4}\), zgadza się? A co można powiedzieć o tym przekształcaniu bazy na bazę i izomorfizmie?