Matematyka.pl

Dzień dobry,

Naszło mnie dość ciekawe pytanie. Załóżmy, że mamy równanie kwadratowe, gdzie delta jest większa od zera. Zapisujemy rozwiązanie ( wynikami są liczby 1 oraz 2 ). Czy zatem zapis:

\(\displaystyle{ x=1 \vee x=2 }\)

jest poprawny? Oczywiście tak uczą w szkole i na studiach jednak nie daje mi to spokoju, że oba wyniki naraz nie są poprawne ( x =1 i jednocześnie x=2 ). Oczywiście x nie może być naraz i 1 i 2, ale wydaje mi się, że bardziej poprawne byłoby użycie alternatywy wykluczającej w miejsce alternatywy.

W domyśle jest robione założenie, że x nie może być naraz dwoma liczbami i po prostu alternatywa jest w praktyce alternatywą wykluczającą ( w tych konkretnych zapisach rozwiązań, bo oczywiście w elektronice wszystko by nie działało, gdyby alternatywa była alternatywą wykluczającą ) ?

Nigdy nie jest błędem użycie alternatywy „normalnej" tam, gdzie zachodzi alternatywa wykluczająca. Podobnie nigdy nie jest błędem napisanie słabej nierówności, gdy zachodzi ostra. Wynika to z uważnego studiowania Talmudu (niby żarcik, ale nie do końca). xDDD

Dodano po 3 minutach 10 sekundach:
Wynika to z następującego schematu (czy jak to tam się nazywa; nie muszę tej nazwy kojarzyć, bo przecież jestem „domorosłym logikiem"):
\(\displaystyle{ ((p\implies q)\wedge p)\implies q}\).

Prawda. Jednak wydaje mi się, że taka alternatywa wykluczająca byłaby bardziej hmmm intuicyjna dla ucznia. Gdy dowie się, że alternatywa jest prawdą i dla \(\displaystyle{ p=q=1}\) to zaczyna się zastanawiać, czy \(\displaystyle{ x_1 = x_2}\).

A, o tym, co byłoby bardziej intuicyjne dla ucznia, to nie będę dyskutować, bo nie jestem pedagogiem.

powolniak pisze: 10 sie 2020, o 18:35Czy zatem zapis:

\(\displaystyle{ x=1 \vee x=2 }\)

jest poprawny?

Jak najbardziej.

powolniak pisze: 10 sie 2020, o 18:35Oczywiście tak uczą w szkole i na studiach jednak nie daje mi to spokoju, że oba wyniki naraz nie są poprawne ( x =1 i jednocześnie x=2 ). Oczywiście x nie może być naraz i 1 i 2, ale wydaje mi się, że bardziej poprawne byłoby użycie alternatywy wykluczającej w miejsce alternatywy.

Alternatywa wykluczająca jest dużo mniej popularnym spójnikiem logicznym niż zwykła alternatywa, jest też w praktyce matematycznej rzadko używana - matematyka to nie elektronika...

Zapis z alternatywą: \(\displaystyle{ x=1 \vee x=2 }\) jest tak samo prawdziwy, jak ten z alternatywą wykluczającą, ten drugi jest "bogatszy" o spostrzeżenie, że \(\displaystyle{ 1\ne 2}\). Nie sądzę, by jawne wyartykułowanie tego spostrzeżenia było warte wprowadzania dodatkowego spójnika.

powolniak pisze: 10 sie 2020, o 18:54Prawda. Jednak wydaje mi się, że taka alternatywa wykluczająca byłaby bardziej hmmm intuicyjna dla ucznia. Gdy dowie się, że alternatywa jest prawdą i dla \(\displaystyle{ p=q=1}\) to zaczyna się zastanawiać, czy \(\displaystyle{ x_1 = x_2}\).

Serio? Naprawdę uczniowie się nad tym zastanawiają? Ja tam mam wrażenie, że dla większości(?) spójniki logiczne to raczej spójniki magiczne i dodawanie im jednego więcej tylko by im w głowach dodatkowo zamieszało...

JK

W praktyce rozwiązywanie równania (nierówności) metodą przekształceń równoważnych polega na tworzeniu ciągu form zdaniowych równoważnych danemu równaniu (nierówności), przy czym kończymy na takiej formie zdaniowej, z której łatwo odgadnąć jakie elementy ją spełniają.

Na przykład odpowiedź do równania \(\displaystyle{ (x -1)(x - 2) = 0 }\)

podaje się często w postaci alternatywy

\(\displaystyle{ x =1 \vee x = 2 \ \ (1)}\)

Wówczas tą odpowiedź należy rozumieć następująco, że wszystkimi pierwiastkami równania są liczby, które spełniają alternatywę. Ale jakie liczby spełniają tę alternatywę - tego odpowiedź nam nie daje. Pozostawia nam do wykrycia. Zatem odpowiedź w postaci alternatywy jest podana w sposób zaszyfrowany, niejawny.
Dodajmy, że przejście do \(\displaystyle{ (1) }\) jest dla ucznia często przejściem niezrozumiałym, gdyż nie informuje, kiedy alternatywa jest prawdziwa, a kiedy fałszywa, zwłaszcza, że w programie matematyki 1 w szkole średniej na poziomie podstawowym nie podaje się podstawowych pojęć logicznych.

Odpowiedź: dane równanie spełniają jedynie liczby \(\displaystyle{ 1 }\) i \(\displaystyle{ 2. }\)