Matematyka.pl

Witam, nie przedłużając zacznę wyjaśniać co odkryłem

Mamy funkcję kwadratową \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\), której współczynniki są rzeczywiste
Mamy również podane jedno z miejsc zerowych tego wielomianu. Nazwę je \(\displaystyle{ x_{1} }\). Skoro funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f}\) ma jedno miejsce zerowe, to znaczy, że musi mieć również i drugie miejsce zerowe, którego nie znamy. Nazwę je \(\displaystyle{ x_{2} }\)
A własność którą zauważyłem mówi, że:
Dla \(\displaystyle{ x_{1}=0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=x(ax+b)}\), lub dla \(\displaystyle{ x_{1} \neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=(x-x_{1})\biggl(ax- \frac{c}{x_{1}}\biggr) }\)


dowód:
Ze wzorów Viète’a:
\(\displaystyle{ x_{1} \cdot x_{2}= \frac{c}{a} }\)

Dla \(\displaystyle{ x_{1}=0}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ c=0}\), więc wtedy funkcja kwadratowa przyjmuje postać \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx=x(ax+b)}\)

Dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) wychodzi, że \(\displaystyle{ x_{2}= \frac{c}{ax_{1}} }\), co podstawiamy do równania \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})}\)
Wychodzi \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})\biggr(x-\frac{c}{ax_{1}} \biggr)=(x-x_{1})\biggl(ax- \frac{c}{x_{1}}\biggr)}\)

qed



Jednym z ciekawszych zastosowań jakie znalazłem, jest szybsze rozbijanie funkcji kwadratowej na postać iloczynową. Mamy przykładowo \(\displaystyle{ f(x)=4x^{2}-5x+1}\), gdzie łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ f(1)=0}\), więc \(\displaystyle{ x_{1}=1}\)

Podstawiając do wzoru \(\displaystyle{ f(x)=4x^{2}-5x+1=(x-1)\biggl(4x- \frac{1}{1} \biggr)=(x-1)(4x-1)}\)

Więc mam kilka pytań:
1. Czy jest to powszechnie znana i używana własność? Powiem szczerze, nigdy z czymś takim nie spotkałem się w książkach, dyskusjach ani nawet w internecie
2. Jeżeli tak, to czy ma to jakąś nazwę?

Dziękuję za przeczytanie

Dla mnie to tylko zastosowanie wzorów (wzoru) Viete'a. Gdy znamy jedno m.zerowe to ze wspomnianego wzoru (mamy dwa do wyboru) wyznaczamy też drugie (niekoniecznie różne od pierwszego).

Ps. Nie nazwałbym tego ,,rozbijaniem".

Faktycznie, słowo "rozbijanie" nie brzmi w tym przypadku najlepiej. Zgadza się również, że jest to zastosowanie wzoru Viete'a. Lecz uznałem, że warto podzielić się obserwacjami, ponieważ jest to oszczędność paru linijek obliczeń podczas zmiany postaci ogólnej funkcji kwadratowej, na postać iloczynową

Oszczędność jest względna, bo musisz pamiętać wzór, który chcesz zastosować. Takich obserwacji można poczynić wiele, ale na ogół się tego nie robi, bo prościej jest pamiętać tylko podstawowe własności, a resztę wyznaczać "w locie".

JK