Matematyka.pl

Mam zadanie: Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) i równoległą do prostej \(\displaystyle{ l}\):

Prosta \(\displaystyle{ P (8, 1, 7)}\)
i prosta \(\displaystyle{ l}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = t \\ y = 9 + 13t \\ z = 4 + 9t\end{cases} }\)
\(\displaystyle{ t \in\RR}\)


Wyszło mi takie coś:
\(\displaystyle{ x = 8 + \alpha \cdot 1 }\)
\(\displaystyle{ y = 9+1 + \alpha \cdot 13 = 10+13 \alpha }\)
\(\displaystyle{ z = 4+7 + \alpha \cdot 9 = 11+9 \alpha }\)

Czy takie coś jest poprawne?

Współczynniki przy `\alpha` są ok, ale ta prosta nie przechodzi przez zadany punkt.

Pomyśl dlaczego... .

Zapisz sobie równanie prostej :
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t\\y=9+13t\\z=4+9t\end{cases}}\)
w postaci kierunkowej:
\(\displaystyle{ \frac{x}{1} = \frac{y-9}{13}= \frac{z-4}{9} =t}\)
Widać, że wektorem równoległym do danej prostej jest wektor: [1,13,9].
Ponieważ proste mają być równoległe, więc wektor ten jest równoległy do szukanej prostej.
Obierzmy na szukanej prostej dowolny punkt A(x,y,z).
Istnieje takie t ,że wektor: \(\displaystyle{ [x- x_{0} , y-y _{0} , z-z _{0} ]= t*[1,13,9]}\)
Czyli: \(\displaystyle{ x-x _{0}=t , y-y _{0} =13t, z-z _{0} =9t}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ P=(8,1,7)=(x _{0},y _{0},z _{0})}\), więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x-8=t\\y-1=13t\\z-7=9t\end{cases}}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=8+t\\y=1+13t\\z=7+9t\end{cases}}\)
gdzie\(\displaystyle{ t \in R}\)
I to jest szukane równanie.
Pozdrawiam.