Matematyka.pl

Prawo: \(\displaystyle{ \forall_{k,m,n \in \NN} (k^n \cdot m^n = (k\cdot m)^n)}\)

Zapisałem:
1) dla \(\displaystyle{ n = 1}\)
\(\displaystyle{ k^1 \cdot m^1 = (k\cdot m)^1 \forall_{k,m,n \in \NN} }\)

2) dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ k^{n+1} \cdot m^{n+1} = k^1 \cdot k^n \cdot m^1 \cdot m^n = k\cdot m \cdot (km)^n = (k\cdot m)^{n+1}}\)

Czy na mocy powyższych dowód można uznać za zakończony? Jeśli nie, to jak go przeprowadzić? Z góry dziękuję za pomoc.

Raczej nie ulega wątpliwości, że pokonałeś istotną trudność tego zadania i rozumiesz krok indukcyjny (więc pod tym względem dowód jest poprawny). Pytanie tylko o stopnień formalności w jakim masz to zapisać bo aktualnie jest to szkic. Być może taki coś przejdzie na politechnice na kierunkach technicznych ale już na matematyce niekoniecznie. Nie bój się opisać słowami tego co robisz znaczkami.

mariusz_k11 pisze: ↑18 cze 2020, o 19:111) dla \(\displaystyle{ n = 1}\)
\(\displaystyle{ k^1 \cdot m^1 = (k\cdot m)^1 \red{\forall_{k,m,n \in \NN}} }\)

Źle. Po pierwsze powinieneś przed rozpoczęciem dowodu napisać, że ustalasz dowolne \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ m}\) i robisz indukcję po \(\displaystyle{ n}\). I w związku z tym czerwony fragment jest bardzo nie na miejscu. Po drugie, Ty tylko zapisałeś tezę, więc trudno uznać to za uzasadnienie

mariusz_k11 pisze: ↑18 cze 2020, o 19:112) dla \(\displaystyle{ n+1}\)
\(\displaystyle{ k^{n+1} \cdot m^{n+1} = k^1 \cdot k^n \cdot m^1 \cdot m^n = k\cdot m \cdot (km)^n = (k\cdot m)^{n+1}}\)

A co to jest? Taki rządek znaczków sam z siebie niczego nie dowodzi. Póki co to nie jest dowód czegokolwiek (tylko rządek znaczków właśnie). Brakuje komentarza.

JK