Matematyka.pl

Dzień dobry.
Nigdy nie liczyłem żadnych całek ze znakiem signum. Dopiero teraz pojawiła się taka konieczność przy znajdywaniu szeregów furiera. Gdzieś znalazłem że \(\displaystyle{ \int\text{sgn}(x)=x \text{sgn}(x)}\) Z czego wynikałoby że \(\displaystyle{ \text{sgn}(x)}\) jest zgodnie z definicją stałą i tak ją traktujemy.
Idąc tropem
\(\displaystyle{ \int \text{sgn} (x)\sin (x)=-\text{sgn} (x)\cos(x)}\) ale po wprowadzeniu wyniku do wolframa okazuje się to bzdurą.


Czy moglibyście mi powiedzieć zatem jak całkować funkcje z \(\displaystyle{ \text{sgn}(x)}\)?

shreder221 pisze: 20 maja 2020, o 19:59 Gdzieś znalazłem że \(\displaystyle{ \int_{}^{} sgn(x)=x sgn(x)}\)

Bez dodatkowych wyjaśnień nie zaakceptowałbym tego, bo funkcja podcałkowa nie jest ciągła.

Z czego wynikałoby że sgn(x) jest zgodnie z definicją stałą i tak ją traktujemy.

Jak to stałą?

shreder221 pisze: 20 maja 2020, o 19:59 Czy moglibyście mi powiedzieć zatem jak całkować funkcje z sgn x?

Policz osobno całki \(\displaystyle{ \int_0^x\mathrm{sgn}(t)\sin(t)\dd t}\) dla \(\displaystyle{ x}\) dodatniego i ujemnego. Potem musisz umieć to "skleić".

matmatmm pisze: 20 maja 2020, o 20:31

shreder221 pisze: 20 maja 2020, o 19:59 Gdzieś znalazłem że \(\displaystyle{ \int_{}^{} sgn(x)=x sgn(x)}\)

Bez dodatkowych wyjaśnień nie zaakceptowałbym tego, bo funkcja podcałkowa nie jest ciągła.

Jak byś to w takim razie zrobił i jakie warunki dodał?
\(\displaystyle{ x>0 \vee x<0}\) ?

matmatmm pisze: 20 maja 2020, o 20:31

Z czego wynikałoby że sgn(x) jest zgodnie z definicją stałą i tak ją traktujemy.

Jak to stałą?

No dobra trochę się zapędziłem jest funkcją zawsze zwracającą 1 lub -1. Miałem na myśli że podczas \(\displaystyle{ \int_{}^{} sgn(x)=x sgn(x)}\) jest CHYBA traktowana jako stała o wartości 1 lub -1 co jest rozstrzygane dopiero podczas podstawiania. I tak samo mogę inne funkcje podcałkowe potraktować.

matmatmm pisze: 20 maja 2020, o 20:31

shreder221 pisze: 20 maja 2020, o 19:59 Czy moglibyście mi powiedzieć zatem jak całkować funkcje z sgn x?

Policz osobno całki \(\displaystyle{ \int_0^x\mathrm{sgn}(t)\sin(t)\dd t}\) dla \(\displaystyle{ x}\) dodatniego i ujemnego. Potem musisz umieć to "skleić".

[/quote]
Mógłbyś przeprowadzić to klejenie? Bo nadal nie widzę skąd te dodatkowe wyrazy się wzięły.

Całką nieoznaczoną dla funkcji `f` określonej na odcinku `(a,b)` nazywamy funkcję `F` taką, że `F'=f`.

Stąd wnosek, że równość zachodzi na każdym odcinku na dodatniej lub ujemnej półprostej, a nie zachodzi na żadnym odcinku zawierającyn `0` (bo tam nie istnieje pochodna.

shreder221 pisze: 20 maja 2020, o 20:56
Jak byś to w takim razie zrobił i jakie warunki dodał?
\(\displaystyle{ x>0 \vee x<0}\) ?

Przede wszystkim zapytałbym co rozumiesz przez całkę (nieoznaczoną) z funkcji, która nie jest ciągła. Wszak taka funkcja nie może mieć pierwotnej.

No dobra trochę się zapędziłem jest funkcją zawsze zwracającą 1 lub -1. Miałem na myśli że podczas \(\displaystyle{ \int_{}^{} sgn(x)=x sgn(x)}\) jest CHYBA traktowana jako stała o wartości 1 lub -1 co jest rozstrzygane dopiero podczas podstawiania. I tak samo mogę inne funkcje podcałkowe potraktować.

W żadnym wypadku nie można funkcji niestałej "wyciągać" przed całkę. Powiedziałbym, że to dziwny zbieg okoliczności, że tutaj tak wyszło.

Mógłbyś przeprowadzić to klejenie? Bo nadal nie widzę skąd te dodatkowe wyrazy się wzięły.

Myślę, że do szeregów Fouriera wystarczą ci całki oznaczone, które liczy się bezproblemowo. A jak koniecznie chcesz całkę nieoznaczoną, to jak policzysz całki \(\displaystyle{ \int_0^x\mathrm{sgn}(t)\sin(t)\dd t}\) to będziesz mieć funkcje pierwotne do funkcji podcałkowej na przedziałach \(\displaystyle{ (-\infty,0]}\) i \(\displaystyle{ [0,+\infty)}\). Powiedzmy, że \(\displaystyle{ f:(-\infty,0]\rightarrow\RR, g:[0,+\infty)\rightarrow \RR}\) to te funkcje pierwotne. Następnie znajdujesz stałą \(\displaystyle{ c\in\RR}\) taką, że funkcja

\(\displaystyle{ x\mapsto \begin{cases}f(x)+c & , x<0 \\ g(x) & , x\ge 0\end{cases}}\)

jest ciągła.

matmatmm pisze: 20 maja 2020, o 21:39Przede wszystkim zapytałbym co rozumiesz przez całkę (nieoznaczoną) z funkcji, która nie jest ciągła. Wszak taka funkcja nie może mieć pierwotnej.

Może:

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} & \text{dla } x \neq 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \end{cases}}\)

jest nieciągła w zerze i ma funkcję pierwotną

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} & \text{dla } x \neq 0 \\ 0 & \text{dla } x = 0 \end{cases}}\)

Na odwrót Dasio... Ale nie zmienia to faktu, że walnąłem nieprawdę. Na swoją obronę powiem, że własność Darboux załatwia sprawę.

EDIT. Nieważne, widzę, że edytowałeś.