shreder221 pisze: ↑20 maja 2020, o 20:56
Jak byś to w takim razie zrobił i jakie warunki dodał?
\(\displaystyle{ x>0 \vee x<0}\) ?
Przede wszystkim zapytałbym co rozumiesz przez całkę (nieoznaczoną) z funkcji, która nie jest ciągła. Wszak taka funkcja nie może mieć pierwotnej.
No dobra trochę się zapędziłem jest funkcją zawsze zwracającą 1 lub -1. Miałem na myśli że podczas \(\displaystyle{ \int_{}^{} sgn(x)=x sgn(x)}\) jest CHYBA traktowana jako stała o wartości 1 lub -1 co jest rozstrzygane dopiero podczas podstawiania. I tak samo mogę inne funkcje podcałkowe potraktować.
W żadnym wypadku nie można funkcji niestałej "wyciągać" przed całkę. Powiedziałbym, że to dziwny zbieg okoliczności, że tutaj tak wyszło.
Mógłbyś przeprowadzić to klejenie? Bo nadal nie widzę skąd te dodatkowe wyrazy się wzięły.
Myślę, że do szeregów Fouriera wystarczą ci całki oznaczone, które liczy się bezproblemowo. A jak koniecznie chcesz całkę nieoznaczoną, to jak policzysz całki
\(\displaystyle{ \int_0^x\mathrm{sgn}(t)\sin(t)\dd t}\) to będziesz mieć funkcje pierwotne do funkcji podcałkowej na przedziałach
\(\displaystyle{ (-\infty,0]}\) i
\(\displaystyle{ [0,+\infty)}\). Powiedzmy, że
\(\displaystyle{ f:(-\infty,0]\rightarrow\RR, g:[0,+\infty)\rightarrow \RR}\) to te funkcje pierwotne. Następnie znajdujesz stałą
\(\displaystyle{ c\in\RR}\) taką, że funkcja
\(\displaystyle{ x\mapsto \begin{cases}f(x)+c & , x<0 \\ g(x) & , x\ge 0\end{cases}}\)
jest ciągła.
