Matematyka.pl

Znaleźć równanie płaszczyzny zawierającej punkt \(\displaystyle{ P(2,0,1)}\) i prostą \(\displaystyle{ l}\): \(\displaystyle{ \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{1}= \frac{z}{2}.}\)

I z czym masz kłopot?

a4karo pisze: 25 kwie 2020, o 13:12 I z czym masz kłopot?

Inne przykłady robiłam tym sposobem, ale tym razem nie wychodzi mi prawidłowy wynik
jeśli \(\displaystyle{ B=(x,y,z) }\)- dowolnie wybrany punkt szukanej płaszczyzny, a \(\displaystyle{ A= (2,-1,0)}\) punkt danej prostej o wektorze kierunkowym \(\displaystyle{ k=(0,1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ PB=[x-2,y-0,z-1)}\) i \(\displaystyle{ PA=[0,-1,-1]}\).

\(\displaystyle{ (PB\times PA)\cdot k=0}\)

A co to jest `A`?

Przecież on nie leży na prostej

a4karo pisze: 26 kwie 2020, o 15:14 A co to jest `A`?

Przecież on nie leży na prostej

To jaki pnk leży na prostej?

Jeden punkt znasz. Drugi dostaniesz dodając do niego wektor ierunkowy na przykład

a4karo pisze: 26 kwie 2020, o 16:00 Jeden punkt znasz. Drugi dostaniesz dodając do niego wektor ierunkowy na przykład

Czy wgl istnieje taka płaszczyzna ? Czy zad ma rozwiązanie ?

Multivitale pisze: 26 kwie 2020, o 20:14Czy wgl istnieje taka płaszczyzna ? Czy zad ma rozwiązanie ?

Ma. Postaraj to sobie wyobrazić - przez prostą i punkt w przestrzeni zawsze przechodzi płaszczyzna, a jak punkt nie leży na prostej, to jest ona jedyna.

Albo inaczej - płaszczyzna jest jednoznacznie wyznaczona przez trzy niewspółliniowe punkty. Prosta jest wyznaczona jednoznacznie przez dwa punkty. Wystarczy zatem wziąć dwa punkty z prostej, dodać punkt który masz i już masz płaszczyznę.

JK

Czy mógłby ktoś podać te 2 punkty z prostej ?

A dlaczego nie możesz znaleźć ich sama?

Rozumiesz, co oznacza zapis \(\displaystyle{ \frac{x-1}{0} = \frac{y+1}{1}= \frac{z}{2}}\) ?

JK

Równanie parametryczne prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 1 + 0t\\ y = -1 +t \\z=0+2t \end{cases} }\)
Wybieram dowolne 2 punkty leżące na prostej \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ A(1,-1,0) }\) ( tutaj przyjąłem \(\displaystyle{ t=0}\) )
\(\displaystyle{ B(1,0,2) }\) ( tutaj przyjąłem \(\displaystyle{ t=1}\) )

Podstawiam do równania płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty ()
czyli liczę wyznacznik z (następnie wyznacznik przyrównuje do zera)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(x-2)&(y-0)&(z-1) \\ 1-2&-1-0&0-1 \\ 1-2 & 0-0 & 2-1\end{array}\right]}\)
czyli
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}(x-2)&(y-0)&(z-1) \\ -1&-1&-1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ = -x+2y-z+3 = 0 }\)
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) oraz zawierającej prostą \(\displaystyle{ L}\)
\(\displaystyle{ x-2y+z-3=0}\)