Matematyka.pl

Witam,

dla funkcji zespolonej oraz jej obrazu z rysunku mamy nierówność

\(\displaystyle{ \left| R_m\right| \le \sum_{}^{} \left| w_i\right|\left| \delta_i\right| }\)

czyli moduł przybliżonej wartości całki \(\displaystyle{ R_m}\) jest mniejszy od sumy iloczynów klojenych wartości funkcji \(\displaystyle{ f(z)}\) oraz przyrostu jej argumentu czyli kojenych liczb zespolonych \(\displaystyle{ z}\). ta część jest zrozumiała. Natomiast w kolejnym kroku natrafiam na taką nierówność:
\(\displaystyle{ \left| R_m\right| \le M \sum_{}^{} \left| \delta_i\right| }\)
gdzie \(\displaystyle{ M}\) to "maksymalna odległość od początku okładu do wartości \(\displaystyle{ f(z)}\)"
I tego już nie rozumiem. Z pierwszego i drugiego równia wynika, że

\(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left| w_i\right|\left| \delta_i\right| = M \sum_{}^{} \left| \delta_i\right| }\)

Jak więc możliwe, że jednorazowe wymnożenie przez największy moduł na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\) (\(\displaystyle{ M}\)) jest równe sumie iloczynów wszystkich modułów?

Dziękuję

Czy naprawdę sądzisz, że jeśli \(\displaystyle{ a \le b}\) i \(\displaystyle{ a \le c}\), to wtedy koniecznie \(\displaystyle{ b = c}\) ?

Dasio11 pisze: 24 kwie 2020, o 22:23 Czy naprawdę sądzisz, że jeśli \(\displaystyle{ a \le b}\) i \(\displaystyle{ a \le c}\), to wtedy koniecznie \(\displaystyle{ b = c}\) ?

No racja, trochę mnie poniosło i zgadzam się, że to moje równanie nie ma sensu.

Myślę, że tuta będzie też pomocny jeszcze trzeci rysunek który pokazuje geometryczną interpretację tej cąłki

gdzie \(\displaystyle{ \tilde{\Delta} = w_i \Delta_i}\)

Jasne jest, że wzięcie modułu z tego (wyrpostowanie odcinków \(\displaystyle{ \Delta}\) oraz odpowiadających im wartości \(\displaystyle{ w_i}\)) da większą wartość niż \(\displaystyle{ R_M}\). Natomiast nie widzę tego, że jednorazowe wymnożenie przez \(\displaystyle{ M}\) (najdłuższy wektor na płaszczyźnie \(\displaystyle{ w}\)) również zagwarantuje nam wartość większą od \(\displaystyle{ R_M}\)

Wykorzystaj nierówność \(\displaystyle{ |w_i| \le M}\).

Dasio11 pisze: 25 kwie 2020, o 13:34 Wykorzystaj nierówność \(\displaystyle{ |w_i| \le M}\).

Okay, problem był w tym, że nie wiem dlaczego ale wydawało mi się, że trzeba pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left| w_i\right|
\le M }\) co oczywiście nie jest prawdą. Wymnożenie \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \Delta_i}\) przez \(\displaystyle{ M}\) gwarantuje, że otrzymamy liczbę większą niż \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left| w_i\right| \left| \Delta_i\right| }\)

Dzięki!