Matematyka.pl

Suma długości 2 boków trójkąta równa się 8, a kąt między nimi zawarty \(\displaystyle{ \alpha=\frac{2\pi}{3}}\). Przy jakiej długości boków tego trójkąta jego obwód jest najmniejszy?

tia...

Mamy dane:
a+b=8
\(\displaystyle{ \alpha=\frac{2\pi}{3}}\)

Mamy znaleźć minimalny obwód.

Czyli a+b+c --> minimum.

a=8-b, daltego c+8 --> minimum.

Z twierdzenia cosinusów mamy:

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2-2ab\cos{\frac{2\pi}{3}}}\)

\(\displaystyle{ \cos{\frac{2\pi}{3}}=\cos{(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{6\pi})}=-\sin{\frac{\pi}{6}}=-\frac{1}{2}}\)

Stąd mamy:

\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2+ab}\)

O co dalej ? Jeśli dobry tok myślenia to fajnie tylko nie wiem co dalej z tym zrobić.

Jeśli zły to przepraszam za kłopot.

Ewentualnie można
\(\displaystyle{ c^2=b^2-8b+64}\) jeśli podstawimy.

To teraz moje, nie do końca pewne rozumowanie...

Liczymy pole ze wzoru \(\displaystyle{ P=ab\sin{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ P=ab\sin{\alpha}=(8-b)b\sin{\alpha}=(8b-b^2)\sin{\alpha}}\)

Pochodna z Pola = -2b+8 --> b=4 --> a=4

Później wzór cosinusów i c wychodzi \(\displaystyle{ \sqrt{48}}\)

Rozwiązując tak myślałem o tym ze P=pr, a wtedy, żeby pole było najmniejsze to i p musi być najmniejsze. Oczywiście niezbyt mi się podoba moje rozwiązanie

Ale tu chodzi o obwód, a nie o pole.

No tak, ale we wzorze na pole masz p, czyli połowe obwodu.

Pewnie dobrze wyszło, bo zauważyłem ze korzystając także z mojego rozumowania minimalny obwód wychodzi dla a=b, czyli a=b=4

Wiedząc. że \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2}\) i a=b=4: \(\displaystyle{ c=\sqrt{48}}\)

Więc mamy rozwiązanie

PS. Wzór na pole trójkąta to nie \(\displaystyle{ P=ab\sin{\alpha}}\), ale \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ab\sin{\alpha}}\)