Matematyka.pl

Ampiltuda wahadła matematycznego o długości \(\displaystyle{ L=0,8m}\) zmalała w ciągu \(\displaystyle{ t=100s}\) o jedną trzecią. Oblicz wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia oraz czas \(\displaystyle{ T}\), w ciągu którego ampiltuda przemieszczania maleje \(\displaystyle{ e}\)-razy.

Dane

\(\displaystyle{ L = 0,8 }\) m.

\(\displaystyle{ t_{1} = 100 }\) s.

Obliczyć

\(\displaystyle{ \Lambda }\) - logarytmiczny dekrement tłumienia.

\(\displaystyle{ T }\) - czas, po którym amplituda zmaleje \(\displaystyle{ e- }\) razy.

Rozwiązanie

Wahadło matematyczne wykonuje drgania tłumione o amplitudzie

\(\displaystyle{ A(t) = A_{0} e^{-\beta t} }\)

i częstości

\(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \omega_{0}^2 - \beta ^2} \ \ (1) }\)

gdzie

\(\displaystyle{ \omega_{0} = \frac{2\pi}{T_{0}} \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ T_{0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \ \ (3)}\)

Z treści zadania wynika, że

\(\displaystyle{ A(t) = A_{0} e ^{-\beta t_{1}} = \frac{1}{3}A_{0} }\)

Stąd współczynnik tłumienia \(\displaystyle{ \beta: }\)

\(\displaystyle{ \beta = -\frac{1}{t_{1}}\ln\left(\frac{1}{3} \right) = \frac{1}{t_{1}}\ln 3 \ \ (4) }\)

Logarytmiczny dekrement

\(\displaystyle{ \Lambda = \beta \cdot T = 2\pi \frac{\beta}{\omega} \ \ (5) }\)

Czas \(\displaystyle{ T, }\) po którym amplituda przemieszczenia wahadła zmaleje \(\displaystyle{ e }\) razy :

\(\displaystyle{ \frac{A(t)}{A(t + T)} = e }\)

\(\displaystyle{ \frac{A_{0} e^{-\beta t}}{A_{0}e^{-\beta t +T}} = \frac{e^{-\beta t}}{e^{-\beta t}\cdot e^{-\beta T}} = e^{\beta T} = e^{1} }\)

Stąd

\(\displaystyle{ \beta T = 1 }\)

\(\displaystyle{ T = \frac{1}{\beta} \ \ (6) }\)

Czas \(\displaystyle{ T }\) nazywamy czasem relaksacji, jest on odwrotnością współczynnika tłumienia.

Proszę na podstawie równań \(\displaystyle{ (1)-(5) }\) określić ogólny wzór na logarytmiczny dekrement tłumienia, podstawić dane liczbowe i obliczyć jego wartość i wartość czasu relaksacji.

Dodano po 5 godzinach 47 minutach 56 sekundach:
Dziękuję Panie Kruszewski.