Matematyka.pl

Witam
Niestety nie mam bladego pojecia nt relacji a mam te 2 zadanie do rozwiazania...

Zadanie 1
Niech A={a,b,c,d} i R ={{a,b,d,{c}} będzie podziałem A. Jaka relacja równoważności jest indukowana przez ten podzial. DLaczego ?

Zadanie 2
Dla danego zbioru X oraz relacji \(\displaystyle{ A\subseteq R^{2}}\) zbadaj czy R jest relacja rownowaznosci jesli tak to wskaz klase abstrakcji
X=R, xRy \(\displaystyle{ \iff}\) x - y = 2

Prosiłabym o jakieś wskazówki lub materiały z przykładowymi zadaniami tego typu lub gdy ktoś ma czas o dokładne wyjasnienie powyższych przykładów (rysunek).

ad 2 relacja nie jest rel równowaznosci, gdyz nawet nie jest zwrotna
mowimy ze R jest zwrotna, gdy xRx dla dowolnego x,
tutaj tak nie jest

a jak to pokazac ze nie jest zwrotna ? na rysunku. Czy mam narysowac po prostu prosta y = x-2 ? Bylaby zwrotna jakby bylo np x=y ?

Mol_książkowy napisał: xRx dla dowolnego x. Jeśli chcesz pokazać, że R nie jest zwrotna, musisz wskazać element, który nie jest w relacji z samym sobą. W tym przypadku cokolwiek jest dobre, np. jeśli x=1, to nieprawda, że xRx, bo \(\displaystyle{ 1-1=0\not=2}\).
JK

A ktos wie jak rozwiazac pierwsze zadanie ?

Ktoś wie...

Zakładając, że chodziło o to, że \(\displaystyle{ R=\{\{a,b,d\},\{c\}\}}\), to relacja wygląda tak:

\(\displaystyle{ \{(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,a), (a,d), (d,a), (b,d), (d,b)\}}\).

Zapisywanie jej wzorem jest wg mnie mało... celowe.

JK

Mam takie pytanie do drugiego. Jeśli zbadamy relację równoważności to jak teraz wskazać klase abstrakcji np dla tego zadania?

Dla tego zadania nie wskażesz, bo to nie jest relacja równoważności.

JK

Załóżmy, że dla innego zadania relacja równoważności będzie prawdą to jak najprościej wyznacza się klasę abstrakcji?

Każdej klasie abstrakcji odpowiada pewna wartość cechy, którą abstrahuje się przy pomocy danej relacji.
Najlepiej zrozumieć, jaką cechę abstrahujemy, wtedy łatwiej będzie wyznaczyć klasy abstrakcji. Należy też pamiętać, że zbiór wszystkich klas abstrakcji jest podziałem.

I tak, jeśli mamy relację \(\displaystyle{ R}\) na zbiorze liczb całkowitych zadaną warunkiem
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow 3|(x-y)}\),
to zauważamy, że równoważne ze sobą są liczby, dające tę samą resztę w dzieleniu przez 3. Zatem abstrahowana cecha to reszta z dzielenia przez 3. Zatem klasy abstrakcji będą trzy, bo tyle jest możliwych reszt z dzielenia przez 3. Teraz już łatwo wyznaczyć klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \{3k:k\in\mathbb{Z}\}}\), \(\displaystyle{ \{3k+1:k\in\mathbb{Z}\}}\)
i \(\displaystyle{ \{3k+2:k\in\mathbb{Z}\}}\).

JK

Dzięki wielkie już wiem o co w tym o co w tym mniej więcej chodzi. Czyli analogicznie do tego co powiedziałeś gdy dzielenie będzie 2 a nie 3 to wyjdą nam 2 klasy abstrakcji?

Tak.

JK