Relacja i podzial

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
_ludolfina_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 10 paź 2007, o 20:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: stad
Pomógł: 1 raz

Relacja i podzial

Post autor: _ludolfina_ » 10 paź 2007, o 21:47

Witam
Niestety nie mam bladego pojecia nt relacji a mam te 2 zadanie do rozwiazania...

Zadanie 1
Niech A={a,b,c,d} i R ={{a,b,d,{c}} będzie podziałem A. Jaka relacja równoważności jest indukowana przez ten podzial. DLaczego ?

Zadanie 2
Dla danego zbioru X oraz relacji \(\displaystyle{ A\subseteq R^{2}}\) zbadaj czy R jest relacja rownowaznosci jesli tak to wskaz klase abstrakcji
X=R, xRy \(\displaystyle{ \iff}\) x - y = 2

Prosiłabym o jakieś wskazówki lub materiały z przykładowymi zadaniami tego typu lub gdy ktoś ma czas o dokładne wyjasnienie powyższych przykładów (rysunek).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6174
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2552 razy
Pomógł: 673 razy

Relacja i podzial

Post autor: mol_ksiazkowy » 10 paź 2007, o 22:15

ad 2 relacja nie jest rel równowaznosci, gdyz nawet nie jest zwrotna
mowimy ze R jest zwrotna, gdy xRx dla dowolnego x,
tutaj tak nie jest

_ludolfina_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 10 paź 2007, o 20:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: stad
Pomógł: 1 raz

Relacja i podzial

Post autor: _ludolfina_ » 10 paź 2007, o 22:29

a jak to pokazac ze nie jest zwrotna ? na rysunku. Czy mam narysowac po prostu prosta y = x-2 ? Bylaby zwrotna jakby bylo np x=y ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Relacja i podzial

Post autor: Jan Kraszewski » 10 paź 2007, o 23:08

Mol_książkowy napisał: xRx dla dowolnego x. Jeśli chcesz pokazać, że R nie jest zwrotna, musisz wskazać element, który nie jest w relacji z samym sobą. W tym przypadku cokolwiek jest dobre, np. jeśli x=1, to nieprawda, że xRx, bo \(\displaystyle{ 1-1=0\not=2}\).
JK

sindar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 5 paź 2009, o 20:10
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: POLSKA

Relacja i podzial

Post autor: sindar » 6 paź 2009, o 12:36

A ktos wie jak rozwiazac pierwsze zadanie ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Relacja i podzial

Post autor: Jan Kraszewski » 6 paź 2009, o 19:12

Ktoś wie...

Zakładając, że chodziło o to, że \(\displaystyle{ R=\{\{a,b,d\},\{c\}\}}\), to relacja wygląda tak:

\(\displaystyle{ \{(a,a), (b,b), (c,c), (d,d), (a,b), (b,a), (a,d), (d,a), (b,d), (d,b)\}}\).

Zapisywanie jej wzorem jest wg mnie mało... celowe.

JK

maksimus2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 30 mar 2007, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żywiec

Relacja i podzial

Post autor: maksimus2 » 7 paź 2009, o 18:20

Mam takie pytanie do drugiego. Jeśli zbadamy relację równoważności to jak teraz wskazać klase abstrakcji np dla tego zadania?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Relacja i podzial

Post autor: Jan Kraszewski » 7 paź 2009, o 18:30

Dla tego zadania nie wskażesz, bo to nie jest relacja równoważności.

JK

maksimus2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 30 mar 2007, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żywiec

Relacja i podzial

Post autor: maksimus2 » 7 paź 2009, o 18:38

Załóżmy, że dla innego zadania relacja równoważności będzie prawdą to jak najprościej wyznacza się klasę abstrakcji?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Relacja i podzial

Post autor: Jan Kraszewski » 7 paź 2009, o 18:55

Każdej klasie abstrakcji odpowiada pewna wartość cechy, którą abstrahuje się przy pomocy danej relacji.
Najlepiej zrozumieć, jaką cechę abstrahujemy, wtedy łatwiej będzie wyznaczyć klasy abstrakcji. Należy też pamiętać, że zbiór wszystkich klas abstrakcji jest podziałem.

I tak, jeśli mamy relację \(\displaystyle{ R}\) na zbiorze liczb całkowitych zadaną warunkiem
\(\displaystyle{ xRy \Leftrightarrow 3|(x-y)}\),
to zauważamy, że równoważne ze sobą są liczby, dające tę samą resztę w dzieleniu przez 3. Zatem abstrahowana cecha to reszta z dzielenia przez 3. Zatem klasy abstrakcji będą trzy, bo tyle jest możliwych reszt z dzielenia przez 3. Teraz już łatwo wyznaczyć klasy abstrakcji:
\(\displaystyle{ \{3k:k\in\mathbb{Z}\}}\), \(\displaystyle{ \{3k+1:k\in\mathbb{Z}\}}\)
i \(\displaystyle{ \{3k+2:k\in\mathbb{Z}\}}\).

JK

maksimus2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 30 mar 2007, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żywiec

Relacja i podzial

Post autor: maksimus2 » 7 paź 2009, o 20:20

Dzięki wielkie już wiem o co w tym o co w tym mniej więcej chodzi. Czyli analogicznie do tego co powiedziałeś gdy dzielenie będzie 2 a nie 3 to wyjdą nam 2 klasy abstrakcji?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27298
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4596 razy

Relacja i podzial

Post autor: Jan Kraszewski » 7 paź 2009, o 22:19

Tak.

JK

ODPOWIEDZ