Matematyka.pl

kolejne zadanie, które od dwóch tygodni mi nie idzie.
Kawałek tkaniny ma kształt trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 m i 3 m. Aby uszyć prostokątną serwetę, krawcowa zamierza odciąć od niego dwa rogi. Jak powinna to zrobić, aby otrzymać serwetę o jak największej powierzchni?
Jak mi o tym mówili na innym forum to nie załapałam o co chodzi...

A potrafisz to zrobić gdyby to był trójkąt 3x3?

Eee, nie.
EDIT ja umiem zastosowania funkcji kwadratowej np. mnożenie xy, pitagorasa i w porywach podpobieństwo trójkątów... Nie wiem, jak to wszystko złączyć.

Wsk. W przypadku trojkata równoramiennego prostokąty maja taki sam obwód

Ale my mamy tylko jeden prostokąt. Krawcowa odcina z góry trójkąt i z boku i zostaje prostokąt. Mamy tu 2 mniejsze trójkąty w środku.
a prostokąta\(\displaystyle{ = 3-x}\)
b prostokąta\(\displaystyle{ =2-y}\)
czyli \(\displaystyle{ ab=(3-x)(2-y)}\)
Ale skąd ja mam wyliczyć y ja nie rozumiem.

Masz jeszcze warunek wiążący te zmienne: punkt leży na przeciwprostokatnej

Ale który punkt? W sensie ten z rogu leżącego naprzeciwko kąta prostego dużego trójkąta?
Wiem też, że przeciwprostokątna ma długość równą pierwiastek z 13.

Słyszałaś kiedyś o układzie współrzędnych? Umieść przyprostokatne na osiach i napisz równanie przeciwprostokatnej

Ej czekaj czekaj....
\(\displaystyle{ 2}\) dzielone na \(\displaystyle{ 2-y}\) to tyle samo co \(\displaystyle{ 3}\) dzielone na \(\displaystyle{ 3-x}\), co nie?
Ej, ja nie słyszałam ja wiem. Ale to będzie miało sinusy i cosinusy, co nie? Jak umieszczę bok długości \(\displaystyle{ 3}\) dołem to będzie \(\displaystyle{ 3-x}\), a jak bok długości \(\displaystyle{ 2}\) dołem to \(\displaystyle{ 2-x}\), tak?
Ake jak chcesz, żebym zrobiła sinusami i cosinusami, to muszę wiedzieć, który kąt ma \(\displaystyle{ 30}\) stopni a który \(\displaystyle{ 60}\).

Proszę rozpisz mi to podobieństwo trójkątów.

Nie wiem skąd Ci przyszły do głowy jakieś bzdury o sinusach i kosinusach. Kątów 20 i 30 stopni tam nie ma.

Jeżeli chcesz pomocy, to zrób to, co napisałem.

Ale to musi być zrobione na podobieństwo trójkątów.
No mówię. Jak na osi x jest bok długości 2, to funkcja przeciwprostokątnej to \(\displaystyle{ f(x)=-x+2}\) a jak 3 jest na osi x to \(\displaystyle{ f(x)=-x+3}\).

Nie

Ale akurat wspomniane podobieństwo trójkątów to bardzo dobry pomysł, a Wy tu z jakimś układem współrzędnych. Tutaj to nie upraszcza w żaden sposób zadania, jest redundantne, a wprowadza zamieszanie, jak ktoś (było: „nikt", użyłem złego słowa, to cała zmiana w poście) nie robił zadań w stylu planimetrii za pomocą geometrii analitycznej.
Odcięte trójkąty w rogach będą podobne (cecha podobieństwa kąt, kąt, kąt). Powiedzmy, że z przyprostokątnej długości \(\displaystyle{ 3}\) odcinamy w rogu \(\displaystyle{ x}\), a z tej o długości \(\displaystyle{ 2}\) odcinamy \(\displaystyle{ y}\). Powstaje wówczas (z rzeczonego podobieństwa) zależność
\(\displaystyle{ \displaystyle{\frac{x}{2-y}=\frac{3-x}{y}}}\), czyli
\(\displaystyle{ xy=(2-y)(3-x)}\), a innymi słowy
\(\displaystyle{ 2x+3y=6\\\displaystyle{y=\frac{6-2x}{3}}}\)
i wobec tego
\(\displaystyle{ (3-x)(2-y)=(3-x)\left(2-\frac{6-2x}{3}\right)}\)
Uprość to i masz do zmaksymalizowania funkcję kwadratową jednej zmiennej.

Można pewnie też to zadanie zrobić czysto geometrycznie, ale nie umiem.

Dzięki Premislav, ja sama na to nie wpadłam, tylko temat zastosowania funkcji kwadratowej jest na podobieństwa trójkątów. Sprawdzę, jak uzyskam dostęp do mojego zeszytu