Norma funkcjonału liniowego
: 10 maja 2019, o 14:46
Znajdź normę funkcjonału liniowego
\(\displaystyle{ f:L^p(-1,1)\rightarrow\mathbb{R},p>1, f(u)=\int_0^1tu(t)dt}\) dla \(\displaystyle{ p=\frac{3}{2}}\).
Nie wiem do końca jak zakończyć zadanie. Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ |f(u)|=|\int_0^1tu(t)dt|\le \int_0^1|t||u(t)|dt\le(\int_0^1|t|^\frac{3}{2}dt)^\frac{2}{3}\cdot(\int_0^1|u(t)|^3dt)^\frac{1}{3}=L||u||_{\frac{3}{2}}}\)
Korzystam z nierówności Holdera dla całek i pierwsza z całek jest do wyliczenia i jest ona stałą Lipschitza. Ale nie wiem jak sprawdzić czy ona jest optymalną stałą i co z faktem, że całka jest w granicach od 0 do 1.
\(\displaystyle{ f:L^p(-1,1)\rightarrow\mathbb{R},p>1, f(u)=\int_0^1tu(t)dt}\) dla \(\displaystyle{ p=\frac{3}{2}}\).
Nie wiem do końca jak zakończyć zadanie. Mam coś takiego:
\(\displaystyle{ |f(u)|=|\int_0^1tu(t)dt|\le \int_0^1|t||u(t)|dt\le(\int_0^1|t|^\frac{3}{2}dt)^\frac{2}{3}\cdot(\int_0^1|u(t)|^3dt)^\frac{1}{3}=L||u||_{\frac{3}{2}}}\)
Korzystam z nierówności Holdera dla całek i pierwsza z całek jest do wyliczenia i jest ona stałą Lipschitza. Ale nie wiem jak sprawdzić czy ona jest optymalną stałą i co z faktem, że całka jest w granicach od 0 do 1.