Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a_{n+1}=2 a_{n}+1}\) i \(\displaystyle{ a_{1}=1}\) dla n naturalnych. Znajdź wzór na \(\displaystyle{ a_{n}}\) i udowodnij
go indukcyjnie.

Wyliczyłem początkowe wyrazy i próbowałem ułożyć coś takiego

\(\displaystyle{ a _{1} + a_{2} + ... + a _{n} =?}\)

no niestety nie mam pomysłu co robić dalej :/ Proszę o jakiekolwiek wskazówki

kacpersowinski pisze:Wyliczyłem początkowe wyrazy i próbowałem ułożyć coś takiego

\(\displaystyle{ a _{1} + a_{2} + ... + a _{n} =?}\)

A po co?! Masz wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ a_n}\). Wyznacz zatem 5-6 pierwszych wyrazów i postaraj się zauważyć zależność pomiędzy kolejnymi wyrazami a ich numerkami.

JK

Można też w podobny sposób:
\(\displaystyle{ a_{n+1} = 2a_{n} + 1 = 2\left(2a_{n-1}+1 \right) + 1 = 4a_{n-1} + 3 = 4\left( a_{n-2} + 1\right) + 3 = 8a_{n-2} + 7 = ... = 2^{n}a_{0} + 2^{n} - 1}\).
Dodając stronami jedynkę mamy
\(\displaystyle{ a_{n+1} + 1 = 2\left( a_{n} + 1 \right)}\), skąd dla \(\displaystyle{ b_{n} = a_{n} + 1}\) mamy \(\displaystyle{ b_{n+1} = 2b_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ b_{0} = 2}\), a to jest ciąg geometryczny o ilorazie \(\displaystyle{ q = 2}\), więc \(\displaystyle{ b_{n} = 2^{n}}\), skąd \(\displaystyle{ a_{n} = 2^{n} - 1}\)

Dziękuję