Matematyka.pl

Witam, mam problem z równaniem różniczkowym, nie wiem jak sprawdzić tożsamość określoną równaniem.
Treść zadania: Rozwiązać równanie z podanym warunkiem początkowym

\(\displaystyle{ 4y^{3}y' \sqrt{1-x ^{2}}= 1 \\
y \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt[4]{ \frac{ \pi }{6} }}\)

Sprawdzić warunek początkowy oraz tożsamość określoną równaniem.
Proszę o pomoc, z góry dziękuję

A jaka to tożsamość?

szw1710 pisze:A jaka to tożsamość?

Trzeba ją właśnie wykazać, że lewa strona równa się prawej

A jaka jest ta lewa strona, a jaka prawa?

Rozdzielamy zmienne.
Wykonujemy obustronne całkowanie.
Uwzględniając warunek początkowy wyznaczamy stałą \(\displaystyle{ C,}\) uzyskując tożsamość lewej i prawej strony równania.

szw1710 pisze:A jaka jest ta lewa strona, a jaka prawa?

\(\displaystyle{ 4y^{3}y' \sqrt{1-x ^{2}}= 1}\)

Potrafisz rozdzielić zmienne rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych?

janusz47 pisze:Potrafisz rozdzielić zmienne rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych?

Tak, zgadza się, już wyszło. Dziękuję za pomoc.

Kiperoo pisze:

szw1710 pisze:A jaka jest ta lewa strona, a jaka prawa?

\(\displaystyle{ 4y^{3}y' \sqrt{1-x ^{2}}= 1}\)

Podpinam się pod pytanie i rowijam: co to znaczy sprawdzić powyższą tożsamość?

Podejrzewam, że chodzi o to by sprawdzić, że otrzymana odpowiedź istotnie jest odpowiedzią, czyli że spełnia wyjściowe równanie.

JK

Należało sprawdzić, że uzyskane rozwiązanie ogólne \(\displaystyle{ y(x) = \sqrt[4]{\arc\sin(x) +C}}\) spełnia dane równanie różniczkowe, czyniąc lewą stronę równą prawej równej 1.

Uwzględniając warunek początkowy, uzyskaliśmy stałą \(\displaystyle{ C = 0.}\)

Rozwiązanie szczególne równania:

\(\displaystyle{ y(x) =\sqrt[4]{\arc\sin(x) }.}\)

\(\displaystyle{ 4\cdot \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt[4]{(\arc\sin(x) +C)^3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt[4]{(\arc\sin(x) +C)^3} = 1.}\)

\(\displaystyle{ L = P =1.}\)

Pisząc " uwzględniając warunek początkowy wyznaczamy stałą \(\displaystyle{ C}\)" tak to prawda.

Ale pisząc "uzyskując tożsamość lewej prawej strony równania" od razu, to nieprawda, do której się przyznaję.

-- 8 lut 2019, o 18:46 --

\(\displaystyle{ \arcsin(x) + C \geq 0.}\)