Problem z równaniem różniczkowym

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Kiperoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 paź 2018, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: Kiperoo » 4 lut 2019, o 21:30

Witam, mam problem z równaniem różniczkowym, nie wiem jak sprawdzić tożsamość określoną równaniem.
Treść zadania: Rozwiązać równanie z podanym warunkiem początkowym

\(4y^{3}y' \sqrt{1-x ^{2}}= 1 \\ y \left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt[4]{ \frac{ \pi }{6} }\)

Sprawdzić warunek początkowy oraz tożsamość określoną równaniem.
Proszę o pomoc, z góry dziękuję
Ostatnio zmieniony 8 lut 2019, o 15:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: szw1710 » 4 lut 2019, o 21:59

A jaka to tożsamość?

Kiperoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 paź 2018, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: Kiperoo » 4 lut 2019, o 22:02

szw1710 pisze:A jaka to tożsamość?
Trzeba ją właśnie wykazać, że lewa strona równa się prawej

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: szw1710 » 4 lut 2019, o 22:12

A jaka jest ta lewa strona, a jaka prawa?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: janusz47 » 4 lut 2019, o 22:14

Rozdzielamy zmienne.
Wykonujemy obustronne całkowanie.
Uwzględniając warunek początkowy wyznaczamy stałą \(C,\) uzyskując tożsamość lewej i prawej strony równania.

Kiperoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 paź 2018, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: Kiperoo » 4 lut 2019, o 22:15

szw1710 pisze:A jaka jest ta lewa strona, a jaka prawa?
\(4y^{3}y' \sqrt{1-x ^{2}}= 1\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: janusz47 » 4 lut 2019, o 22:29

Potrafisz rozdzielić zmienne rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych?

Kiperoo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 3 paź 2018, o 20:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: Kiperoo » 4 lut 2019, o 22:33

janusz47 pisze:Potrafisz rozdzielić zmienne rozwiązać równanie o zmiennych rozdzielonych?
Tak, zgadza się, już wyszło. Dziękuję za pomoc.

Awatar użytkownika
yorgin
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: yorgin » 5 lut 2019, o 07:35

Kiperoo pisze:
szw1710 pisze:A jaka jest ta lewa strona, a jaka prawa?
\(4y^{3}y' \sqrt{1-x ^{2}}= 1\)
Podpinam się pod pytanie i rowijam: co to znaczy sprawdzić powyższą tożsamość?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24934
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: Jan Kraszewski » 8 lut 2019, o 16:00

Podejrzewam, że chodzi o to by sprawdzić, że otrzymana odpowiedź istotnie jest odpowiedzią, czyli że spełnia wyjściowe równanie.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Problem z równaniem różniczkowym

Post autor: janusz47 » 8 lut 2019, o 17:35

Należało sprawdzić, że uzyskane rozwiązanie ogólne \(y(x) = \sqrt[4]{\arc\sin(x) +C}\) spełnia dane równanie różniczkowe, czyniąc lewą stronę równą prawej równej 1.

Uwzględniając warunek początkowy, uzyskaliśmy stałą \(C = 0.\)

Rozwiązanie szczególne równania:

\(y(x) =\sqrt[4]{\arc\sin(x) }.\)

\(4\cdot \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt[4]{(\arc\sin(x) +C)^3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2}\cdot \sqrt[4]{(\arc\sin(x) +C)^3} = 1.\)

\(L = P =1.\)

Pisząc " uwzględniając warunek początkowy wyznaczamy stałą \(C\)" tak to prawda.

Ale pisząc "uzyskując tożsamość lewej prawej strony równania" od razu, to nieprawda, do której się przyznaję.

-- 8 lut 2019, o 18:46 --

\(\arcsin(x) + C \geq 0.\)
Ostatnio zmieniony 8 lut 2019, o 17:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: nieprawda.

ODPOWIEDZ